摘要 以房养老理论的提出和住房反向抵押贷款模式在我国的引进，在我国养老保险机制不健全，养老资源严重短缺的情形下，结合金融保险理论和不动产变现理论，为强化养老保障提供了一种新的思路。贷款产品定价和由此而来的年金支付，是本贷款具体运作的核心内容。本文在传统年金支付的基础上，结合房价波动和利率变动的情况，建立了一个动态模型，以期对反向抵押贷款产品的定价问题的解决，提出一种新的方法。
关键词 住房反向抵押贷款 随机利率 终生生存年金支付
本文在借鉴前人做出的静态定价模型的基础之上，试图从房价波动率和利率变化的角度出发，建构起一个动态模型。本为分为三部分：第一部分为引言；第二部分为年金支付模型的建立，在对现实情况进行一些必要假设后，建立支付模型，联系固定利率和波动确定值下的利率及对美国的HECM等三种特殊情况做出分析；第三部分为模型的模拟计算，并给出在这一条件下，65岁到75岁的男女投保人所可获得的年金；第四部分为相应的结论。
一、引言
我国人口老龄化危机日趋严重，养老保障体系不健全，养老资源缺乏，迫切要求养老保障体系在观念与制度上的创新。同时，住房商品化的推行使大多数老年人都有了自己的住房。如何通过金融创新，把不动产和养老金密切结合，使老年人在不影响居住的前提下，通过利用住房向银行贷款，在自己生前获得现金收益，就是一个迫切需要研究的新问题。正是在这样的大背景下，目前发达国家盛行的住房反向抵押贷款逐渐被引入我国，并引起理论界和业内人士的广泛关注和深入研究。这一研究的结果，为我国解决人口老龄化，养老保障不健全等问题，对我国的养老保障、房地产、金融创新等，无论是政策法规制订、学术理论创新，或是社会养老事业发展等，提供了新的思路。
除了大量的概念性表述或是需求分析的文献，也有些学者提出了一些技术性、供给层面分析的问题。国外学者对反向抵押贷款定价做了大量研究。Kau，Keenan和Muller 认为房产价值的随机干扰项，服从标准维纳分布或称为布朗运动，期望值为0，标准差为t，房价H（t） 是个几何布朗运动，服从对数正态分布；Szymanoski和Torous 认为单个房产的升值率，可以看成是服从正态分布的独立变量。
以往对住房反向抵押贷款年金支付问题的研究，大都是在房价波动率和利率可确定或利率可预期的强假设的静态模型基础之上，进行确定性定价。在诸多因素不确定的前提下，对反向抵押贷款年金给付额度的刚性定价，是有欠缺的。它会使金融机构和借款人双方或其中任何一方，都会因大量的因素不确定而不能达成一致性协议。在利率不确定的情况下，利率被认为是随机利率。国内学者孟晓苏认为住房反向抵押贷款应该为寿险年金支付，此种方式较适合我国的实情，并举例简单说明了本项贷款的操作，阐述了住房反向抵押贷款对我国经济、社会发展的积极影响。范子文在《以房养老》一书中，对反向抵押贷款产品定价的描述较有创新，他将反向抵押贷款的产品定价，分为无赎回权产品和有赎回权产品两种。前种产品采用保险精算的方法进行定价；后者用期权定价的方式进行定价。肖芸茹（1999）对变额寿险中增额年金现值的计算做了一些初步的研究，为寿险中变额年金的支付提出了一种新的方法。李雅珍、邹小芃（2005）对反向抵押贷款寿险的定价问题，结合美国HECM操作中的支付因子做了比较讨论。高建伟、邱菀华发展了Frees.E．W（1990）利率模型，提出了随机利率下的生存年金模型，对传统精算学中假定利率为一固定常数进行了改进。王晓军对此方法在寿险精算中的运用予以相应的探讨。
结合反向抵押贷款的现实运作，年金支付的方式是最符合这一产品推出的以房养老本意的。而年金支付的额度计算中，预期寿命、房价和利率是三个关键因素。但知晓老年人的寿命预期并非是个简单事项，我们可以根据大数定理和生命表推断某地居民的平均寿命，却无法预知参与本项业务的某客户的具体寿命能够活到多长；同样，房价并非固定不变，而是处在随时处于变动状态。就利率的走势而言，我们可以推断中国近期的利率走向，却无法对利率变动的绝对量以明确地解答。特别是我国现在正处于经济转轨和高速发展的时期，国家法规制度、发展速度、利率及房价波动等，都有着太多的不确定因素。因此，这种反向抵押贷款的年金支付的定价方式会带来种种的风险，以至于难以对此做出很明晰的判断和计算依据。
反向抵押贷款的产品定价模型的建构中，预期寿命、房价波动和利率这三个关键因素外，通货膨胀率也是需考虑的因素。这三个因素的不确定，使得本项产品定价在理论研究和实际操作中，都有相当困难。笔者认为，传统的确定性产品定价的办法，在住房反向抵押贷款产品的操作上，虽然符合逻辑且易于贷款贷放、回收的实际操作，但在众多的不确定因素下，并不能有效地保证借贷双方的利益。本文在传统的金融工具定价的基础上，提出了动态支付年金的思路。设想将利率和房价波动率用与时间有关的函数来表示，使得不确定的变量用确定性的变量来推断，有规律的动态变化避免了过于刚性的定量。根据以上几个模型的思想，结合住房反向抵押贷款的特点，构建了利率随机的动态年金支付的模型。
在诸多因素不确定的前提下，对反向抵押贷款年金给付额度的简单地确定性定价，是有欠缺的。它会使金融机构和借款人双方或其中任何一方，因众多的不确定因素和长时期的因素波动而产生不够公正的疑问，或是机构或是借款人的利益受损。因此，建立能够适应动态因素变化的反向抵押产品的定价模型，就是至为重要。本文在借鉴前人做出的静态定价模型的基础之上，试图建构起一个随机利率下的动态模型。这就可以使年金支付额度的计算，从确定利率的刚性变成随机利率的弹性。我们把这个模型称为住房反向抵押贷款年金支付的动态模型。
二、住房反向抵押贷款的年金支付模型
（一）模型的建立
1.假设
首先，我们将已经参与反向抵押贷款的机构最终回收的住房都作为二手房处理。不论是从抵押房屋的性质或从银行、保险机构的角度出发，都应如此定义。金融机构处理这项贷款时，住宅的销售价格只能作为定价依据，而非作为定价标准。
其次，我国正处在利率市场化改革的进程中，物价波动、制度的不确定性，导致了贷款利率的不确定性。房价波动率、预期通货膨胀偏离率与利率之间呈现的关系上，就很少有定量方面的研究文献。我们在技术上把房价预期波动率和预期通货膨胀偏离率，都假设为常量。
最后，年金支付形式为年初支付。年金支付从申请人的申请获得批准后的下一年开始支付。如某申请人60岁那年，申请住房反向抵押贷款，在当年获得批准，相关机构从下一年年初支付给申请人年金，并假设不出现任何提前支付和违约的情况。
2.贷款机构未来收入贴现值的推导首先，计算住宅的未来价值。假设，Δ k 为保险人自开始给付生存年金开始算起，第（k，k＋1）年的利率。
Δ k＝μ＋εk＋θ1εk－1＋θ2εk－2＋θqεk－q（1）
｛εi ｝是均值为0，方差为σ2的相互独立、同分布的序列，｛θi ｝满足M A（q）模型的可逆条件即：
67 1－Σqi＝1θix i＝0
所以，Δ k 服从均值为μ，方差为σ2的正态分布。现根据随机利率的性质，计算住宅的现值：
Hp＝H（t） ΠTt＝1e－Δ k＝H（t）×e－ΣTt＝1Δ k
其中， H（t）＝H0eαt＋B（t）。
上式中，α-住宅价值的预期年升值率。σ-用来描述预期通货膨胀率偏离的参数。α、σ 为给定外生的参数；再对Hp 求期望值。
3.住房反向抵押贷款的年金支付动态模型如下
根据贷款机构的支出现值与贷款机构的收入现值，这两者的期望值相等的原则，得到：
Ax×ΣTt＝1（ΠTt＝1e－Δ k×t px）＝ΣTt＝1（1－c）×H0×eαt×eσ2t2×ΠTt＝1e－Δ k×t｜ qx
等式左边为：贷款机构支出现值的期望，它等于借款人的收入现值与其存活的概率之积。右边为：在每个时点上，房产在所有者去世的概率与贷款机构在此时收回的房产现值之积。将上文中对随机利率求期望的结论代入，得到：
Ax×ΣTt＝1（e－tB×A×t px）＝（1－c）×H0×ΣTt＝1（eαt×eσ2t2×e－tB×A×t｜ qx）
（2）式为住房反向抵押贷款年金支付的动态模型。等式左边为年金的精算现值，等式右边为贷款机构在扣除各种交易费用后的期望净收入。
Ax-年龄为X 岁的申请人在住房反向抵押贷款合同开始后，每年年初可获得的年金金额。
H0-住房反向抵押贷款合约签订时抵押房屋的当时市场评估价值；T-支付期限，年金为预付年金形式，可以认为T是贷款需要支付的次数。
c-交易费用率，如代理费、手续费等；是各种费用与房产在t＝0时刻价值的比率。
α-住宅价值的预期年升值率。
t｜ qx-年龄为X岁的人，在住房反向抵押贷款合同开始后第t年内死亡的概率。
t px-年龄为X岁的人，在住房反向抵押贷款合同开始后在第t年存活的概率。
（二）固定利率在此模型下的实现
当利率不变时，即Δk＝μ，θ1，θ2，θq 全为0，（2）式可改写成：
（3）式为按复利计算的住房反向抵押贷款年金支付公式。
如利率变动是已知的，即每年利率不同，但也是一个确定数值，则（2）式可改写成：
μt是每期的利率，由于μt是已获得的数值，没有不确定性，所以（4）式与（8）式一样，是复利计算的支付公式。
因此，固定利率的情况可视为随机利率模型的一个特例。
(三)与美国HECM(Hom e Equity Conv erseMortgage)支付因子的转化
1986年，美国联邦抵押联合会（FNMA）推出了“ HECM”，即住房可转换抵押贷款业务。其年金支付因子为：
μ／［qe－αγ（eμγ－1）］
μ为利率，α为住房升值率，γ为支付次数，q是大多数合同所采用经过精算调整的统计结果。
HECM仅考虑借款人预期寿命和房产升值率，而未考虑利率波动的情形。
在HECM中，生存概率分布函数为：
∫γt＝0q（t）dt＝1
γ为支付次数，q（t）为存活概率的密度函数。
（2）式在这个问题上采用的是离散值，若假设各期存活率之间存在某个连续型的概率分布函数。若将支付次数细分为从0开始的连续值①。则在不考虑考虑利率波动的情况时，（2）式可重写为：
Ax×∫Tt＝0e－μt q（t）dt＝（1－c）×H0×∫Tt＝0e（α－μ）tdt
简化后的结果与HECM一样为μ／［qe－αT（eμT－1）］，由此，HECM的支付因子为本文模型的一个特例。
三、模拟计算
假设某70岁的男性老人申请此项业务，获得批准。若他已经买房30年，我们假定他拥有的住房离拆迁还有20年。
利率符合Δ k＝0.06＋εk＋0.055εk－1＋0.035εk－2，｛εi ｝ 是均值为0，方差为0.01的相互独立、同分布的序列。住房价值100万，住房价值预期升值率为3%，预期通货膨胀率偏离1%，各项交易费用占房产的8%。
参考中国人寿保险业经验生命表（2000－2003），求解支付年金：
Ax×Σ20t＝1（e－t［0.06－ln［M［－1.08］］］×Πt－1i＝0（1－q60＋i））＝（1－8%）×H0×Σ20t＝1｛e0.03t×e0.012t2×e－t［0.06－ln［ M［－1.08］2］］×Πt－1i＝0（1－q60＋i）×q60＋t ｝其中，M＝exp［（－1.08）2×0.01／2］，可求得，Ax＝0.025882，H0＝25，882。
根据例题给定的条件，计算出从65岁到75岁的男女性保险人的年金支付。
四、总结
整个年金的支付模型意味着每期的年金的支付是可以随利率或房价波动率的变动而发生波动的。对借贷双方而言，此模型在操作中更具有效率，减弱了双方对参数变动而导致的利益损失的担心。
当借款人最终死亡或对抵押住房出售、迁移时，本项贷款宣告结束。国外一般运作的基本状况是，该抵押房产或归贷款机构收回并作运营或拍卖，收回资金弥补来以前年度的款项源源的付出，并实现经营利润；或者由抵押老人的继承人通过赎买的政策，向机构如数归还机构所付贷款的本息，赎回抵押房产。两种方式的选择都是可行的。
本文考虑了房价波动的情况和随机利率，就住宅反向抵押贷款的年金支付做了初步的探讨，相信随着对不确定性利率的研究深入，随机利率下的住宅反向抵押贷款支付问题会有更全面、更完善的解决。
