摘要 反向抵押贷款作为一种金融产品推出，必须要考虑它的产品定价问题。即借款人将自己的住房抵押给金融保险机构之后，每期将可以领取房款的数额。这里首先建造几个计算模型，包括简单模型、复杂模型、利润模型等，并从不同角度对这些模型加以多方位地深入探讨。
关键词 反向抵押贷款 定价模型 利润模型
我们把反向抵押贷款作为一种金融工具或者更具体地说，是作为一种房产养老的寿险产品来研究，必然要考虑它的定价问题。所谓反向抵押贷款的定价，指贷款机构在同意出售反向抵押贷款并评估房产价值后，确定一个可以借出的金额并计算整个贷款期间的利息。
一、一个简单的定价模型
反向抵押贷款的定价模型和它的领取方式直接相关，但不管采取哪种领取方式，都要用到精算学原理，建立精算模型。
下面我们建立一个最简单的定价模型。假设单个借款人一次性领取全部贷款（a lump sum，LS），那么他能够借到的精算公允的金额，等于房产在偿还时的期望出售价值的贴现值②，可以用下面的公式表示：
其中：α-房产价值年平均增长率；i-抵押贷款名义利率；H EQ-借款开始时的房产净值；t px-x岁的人活过t年的概率；ω-生命表上的最大生存年龄，如105岁等。
L S以贷款利率i增长，那么t期之后的还款总额（Q）为：
Qt＝LS（1＋i）t（2）
生命年金支付方式的定价更复杂一些。贷款机构首先确定可以借出的最大精算公允金额，用它购买终身年金，假设年金贴现利率使用无风险利率（r），则生命年金年度支付额（PMT）可以这样计算。
二、反向抵押贷款供给者的利润模型
（一）借款终值模型
以下我们考虑反向抵押贷款需求者（借款人）全部借款金额的模型，为方便起见，我们假设借款人为一对年龄都是62岁的夫妇，他们采取终身年金按月领取方式，并且从他们62岁第一个月的月初开始领取，最多领取到最后可能生存者105岁为止，也即他们最多可以连续领取528个月的年金。
我们先作如下变量假设：
A-反向抵押贷款每月固定支付额；t-最后一个借款人死亡时间（从领取年金开始，以月计算）；Lt-反向抵押贷款全部借款额在t 时的积累值。
则借款人全部年金领取额在偿还时的终值为其中，Uj 是积累因子，用于计算从62岁开始到死亡时间t 的均衡支付的积累值。
设ij 是供给者的年名义利率，反映供给者在第j 月的资本成本，则由于一般需要4个月才能把房产卖掉②，所以增加一个额外积累因子Bt。
（二）房产积累净值模型
房产价值是个变量，影响其波动的因素很多，除去各种费用后，我们用房产价值年平均增长率作为衡量房产价值波动的指标。如果房产价值上升了，则增长率为正；如果房产价值下降了，则该增长率为负。我们先作如下变量假设：
λ-初始费用占房产评估价值的百分比；P0-房产初始评估价值0；τ-终结费用占房产初始评估价值的百分比；Pt-除去各种费用后的房产积累净值；α-房产价值年平均增长率。
（三）供给者的利润最大化模型
下面考虑在不确定性情况下，反向抵押贷款供给者的利润最大化行为。不确定性因素主要有两个，除了利率的随机变化之外，就是借款人的死亡时间了，它将决定借款支付的时间。在偿还时点上，反向抵押贷款供给者将会比较房产积累净值与借款积累值的大小，以此来估计反向抵押贷款的利润情况。在反向抵押贷款开始的几个月里，借款积累值比房产积累值要小得多。随着反向抵押贷款连续支付以及居住时间的延长，借款积累值越来越大，最后可能超过房产积累净值。因此有必要计算第一次出现两者平衡的月份m，在t＝m，借款积累值Lm 等于财产积累值Pm。对于所有的t＞m，都有Lt＞Pt，换言之，如果借款人活过m或者更长，房产积累净值就会少于年金给付积累值，反向抵押贷款供给者就会遭受损失。
由于损失的概率依赖于反向抵押贷款需求者的死亡率，我们设定申请人的年龄为62岁，反向抵押贷款供给者遭受损失的概率为γ。
根据《中国人寿保险业经验生命表（2000－2003）》，人在105岁时死亡的概率几乎为100%，此模型考虑按月支付，所以将其换算成月，则62岁申请人可以存活的最大月数即为12×（105－62＋1）＝528个月。其中，t－1｜1q62表示从62岁开始活过t－1个月且在第t 个月死亡的概率。这一等式也表明，只要借款人活过m，贷款机构就会遭受损失，遭受损失概率为62岁的借款人活过m－1个月的概率与活过528个月的概率之差。
我们下一步检验反向抵押贷款供给者收到款项与付出成本的资金流动。作为一种不可追索的借款，借款的总额不能超过被抵押财产的售价。这样，在任意一个还款月t，反向抵押贷款供给者收到的还款额或者其可以主张的最大金额Qt 是L t和Pt 中较小的一个，即Qt＝min（Lt，Pt）（10）
反向抵押贷款供给者连续t 个月，每月支付借款额A 的全部借款额现值为Ct，式中，yi 为包含了利润边际的贷款贴现利率，y0＝0
我们假设反向抵押贷款私人供给者可以采用较低的资本成本，考虑风险保费和利润边际，yt和it 之间的差额代表了反向抵押贷款供给者的协调力量，因为反向抵押贷款供给者一般向借款人收取较高的贷款利息。
因此，第t 月的利润πt 贴现到62岁的现值为πt＝QtV t－Ct（13）V t 是与Qt 对应的积累因子V t＝Πt＋4n＝11＋yn12（14）
利润现值期望值（Mean Present Value of Profit，MPVP）可以通过用最后生存者的死亡率对πt 加权计算求得M PV P＝Σ528t＝1πt ·t－1｜1q62（15）
其中，t－1｜1q62＝t－1｜1p62－t p62（16）
（四）利率模型
退休收入确定年金流的现值由适当的收益曲线来折现。由于没有与之一致的利率模型，我们采用Cox，Ingersoll和Ross（1985）提出的离散短期模型（CIR model）理论来构建短期随机利率模型，如下
rt＋1＝rt＋θ（ra－rt）＋βr12t εt＋1（17）
其中，rt 是时间t 时的短期利率，ra 是长期平均利率，θ 是利率平均转换速度。对于θ＞0，rt 将会下降，并且如果现行利率大于ra，rt 将会向ra 靠拢，反之亦然。
等式（17）右边第二项由ra和θ 各自决定rt 的变化趋势，第三项是随机变量部分，由独立同分布的标准正态随机变量εt＋1和可变参数β 构成。
为了方便比较，我们介绍一下另外两个利率决定模型来折现未来现金流，即常数收益曲线模型（CYC）和固定收益曲线模型（FYC）。CYC 在所有期间的利率都是相等的，比如2%，3%，4%等等。FYC 由一系列的政府短期国库券和中长期国债的收益率加权计算而得。我们用15年期债券的收益率代替长期利率，小于15年期的利率可以用插值方法得到。
三、模型应用——一个基准方案
这里主要根据中国的情况设定一组指标数值，并将这些指标称为基准参数，建立一个基准模型，然后利用蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）方法研究我国开发实施反向抵押贷款产品的可行性。蒙特卡罗模拟法是根据随机数对影响因素的概率分布进行随机抽样，根据每次抽样值来计算项目的净现金流量、净现值及内部收益率等指标；当进行足够的模拟计算次数后，即可得到投资项目净现值的期望值、标准差及概率分布。在此，我们设定不同变量，如房产初始价值P0、房产价值增长率α、各种利率，等等，对相关等式进行5000次的蒙特卡罗模拟计算得到Lt和Pt 及其他相关指标。以下几个表格都是通过蒙特卡罗方法模拟出来的结果，我们根据需要对其进行相应的分析。
基准方案的假设条件——基准参数设定如下：
借款人第一次领取年金的年龄：62岁退休前家庭平均月收入：3719 元
退休前家庭月收入中位数：3000元房产初始评估价值P0＝24万元
房产价值年增长率α＝5%初始费用占初始评估价值的百分比λ＝1%
终结费用占房产出售价值的百分比τ＝3.5%
无风险利率或资本成本r＝3%
反向抵押贷款私人供给者利率y＝r＋1%
反向抵押贷款购买者利率i＝r＋2%
Cox－Ingersoll－Ross 模型随机利率： 初始利率3% 平均利率ra＝3%
（一）替代率与损失概率
我们首先设定各种年金月给付额，最低900元，每次变换都增加100元，然后估计借款积累总额Lt，对于每一种年金月支付额，我们计算相关的房产积累净值Pt。只要Lt 大于Pt，反向抵押贷款供给者就会获利。在某一个收支平衡月m，如果t＞m，Lt 就会大于Pt，供给者就会遭受损失。从表1的模拟结果可以看出，年金月给付额越高，供给者的收支平衡月出现的就越早。
等式（13）中的利润现值（PV P）由随机利率的波动决定，使用CIR 利率模型，运行5000次模拟计算，就会得到各种年金给付额下的PV P 的期望值（M PV P）、方差、5%和95%的分位点，以及供给者损失概率和第一个收支平衡月，其中，损失概率由等式（9）模拟计算得出。
初始房产价值24万元，如每月支付年金1500元，那么反向抵押贷款供给者遭受损失的概率只有0.0367，并且第一个平衡月出现较晚，在第8个月。如果每月年金的支付额提高到1600元，反向抵押贷款供给者遭受损失的概率就将急剧上升到0.5374，且第一个平衡月出现在第350个月。如果反向抵押贷款供给者是风险厌恶者，并且希望损失发生的概率越小越好，供给者就会选择支付一个较小额的年金，比如900元。这样可能导致收入替代率低于70%，从而没有人愿意购买反向抵押贷款。因此，完整的反向抵押贷款市场，既要使供给者遭受损失的概率最小，也要保持一个能够维持退休开支的年金支付额。
表1还表明，当年金月给付额上升到1700元，退休前收入替代率达到46%，反向抵押贷款供给者遭受损失的概率高达0.8024，这与月给付额为1400元时可以忽略的损失概率形成了鲜明对比。我们把这两种给付之间的差额看作反向抵押贷款供给者向年金领取者收取的附加保费，在本例中，附加保费因子高达21%（300／1400）。因此我们可以得出如下结论：反向抵押贷款市场的不完整性①是和高附加保费因子相一致的。
（二）私人供给者和公共供给者
我们下一步考察当反向抵押贷款供给者是非营利机构（即公共供给者，例如政府）时的反向抵押贷款市场。由于利润不是反向抵押贷款公共供给者考虑的主要因素，我们在计算等式（4）中的借款积累值时，用无风险利率r 代替内含风险保费和利润边际的利率y。为了易于比较，我们定义使得反向抵押贷款私人供给者的M PV P 为0时的年金支付额为收支平衡年金。重复上面的蒙特卡罗模拟计算，我们使用收支平衡年金得到反向抵押贷款公共供给者新的平衡月。
表2列出了模拟计算的结果，给出了反向抵押贷款营利和非营利供给者在同等条件下各自反向抵押贷款产品相应项目的比较。这些比较包括：收支平衡年金的月平均支付额，标准差，5%和95%分位点，遭受损失的概率，第一个收支平衡月，以家庭月平均收入和月中位收入为基础的替代率。我们应用不同的房产初始评估值来重复上面的模拟过程，房产初始评估值从22万到30万元不等。
对于给定房产初始价值22万元，反向抵押贷款收支平衡年金的月支付额为1475元，它和月平均收入的替代率为49%。如果这一反向抵押贷款的供给者为私人，遭受损失的概率接近0.581，暗示借款积累值在偿还时极有可能高于资产净值，这样的反向抵押贷款市场是不会存在的。政府是否可以作为公共供给者加入反向抵押贷款市场呢？表2显示，支付相同的收支平衡年金月平均支付额时，反向抵押贷款公共供给者遭受损失的概率几乎可以忽略不计，但前提是反向抵押贷款公共供给者的资本成本较低，且对借款使用无风险利率计息。
如有一个较高的房产初始价值，以30万元为例，房主可以通过释放住房产权得到收入，甚至可以达到退休前月平均收入67%的替代率。但是，由于私人供给者做这一项目的损失概率高达0.586，这一市场会慢慢消失。而公共供给者的损失概率只有0.003，与私人供给者相比，第一个收支平衡月的出现也晚了176个月。
我们认为营利性是反向抵押贷款私人供给者考虑的重要因素，而公共供给者几乎不怎么考虑营利性。图1给出了不同月支付额水平下，反向抵押贷款公共供给者和私人供给者遭受损失的概率比较，还比较了当房产增值率变化时反向抵押贷款供给者遭受损失的概率，容易看出房产增值率越高，损失概率越低。例如，当年金支付水平为1600元，房产增值率α＝5%时，私人供给者的损失概率为0.586。
如果α 上升到6%，损失概率就会降低到0.476。我们还会发现，私人供给者的损失概率曲线总是位于公共供给者的左方，这表明相对于私人供给者，公共供给者能够提供一个相对较高的年金支付水平。因此，反向抵押贷款公共供给者市场比私人供给者市场更有效。
（三）房产增值率与损失概率
反向抵押贷款市场的完整性依赖于房产增值率α。α＝6%时，每月收支均衡年金支付额为2154元，替代率达到72%，这样会毫无疑问地引发对反向抵押贷款的大量需求。但由于损失概率高达0.476，也许没有私人供给者愿意提供这一贷款产品；而公共供给者的损失率只有0.004，无疑可以大量提供这种贷款产品。如果房产增值率降为3%，每月收支均衡年金支付额降为879元，替代率仅为30%，私人供给者和公共供给者的损失概率分别为0.5和0.296，这种情况下，公共供给者也可能遭受损失，也不会提供这一反向抵押贷款产品。显而易见，随着房产增值率α 的上升，每月收支平衡年金支付额会加速上升，反向抵押贷款供给者遭受损失的概率有下降的趋势。
反向抵押贷款私人和公共供给者在不同的月给付年金水平下第一个收支平衡月的模拟曲线。从图中容易看出，房产增值率越高，收支平衡月出现的越晚。例如，使用前面的基准参数，当α＝5%时，反向抵押贷款公共供给者的第一个收支平衡月出现在第338个月，而反向抵押贷款私人供给者的第一个收支平衡月出现在第511个月。当α＝6%时，公共供给者的第一个收支平衡月出现在第490个月，而私人供给者的第一个收支平衡月出现在第364个月。
（四）利率与年金给付额
给出了使用不同的无风险利率（3%，4%，5%）模拟计算的结果，反映模拟结果对无风险利率的敏感度。反向抵押贷款供给者使用的利率越高，平均收支平衡年金给付额就越低，替代率就越低，反向抵押贷款就越不足以补偿退休收入。按基准方案假设中的无风险利率3%计算，每月年金给付额为1609元，替代率为54%，但如果采用5%的无风险利率，每月年金给付额为1067元，替代率为36%。
