运动方程、速度及加速度的概念和计算是研究力学问题的基础，也是学习工程力学必须要解决的问题。通过对运动理论的学习，培养研究问题的方法和思路，提高分析问题、解决问题和研究问题的能力，从而，为学习相关专业知识打下基础。
9.1描述运动的方程
在理论物理学中，所谓决定点的运动，就是决定动点在参考系中每瞬时的位置。为了解决这个问题，就必须求出点运动的速度与加速度。为此，本章先从研究点的运动方程入手。
9.1.1自然法
设点运动的轨迹曲线是已知的。要确定动点的位置，除了给定轨迹曲线以外，还应知道动点任意瞬时在轨道曲线上的位置。为此，沿点的轨迹曲线建立一条曲线坐标轴，在轨道曲线上选定一点O作为计算的起点，由O点至动点M的弧长，就可确定动点在曲线上的位置，如图91所示。其中，s代表数量，称为动点M的弧坐标或自然坐标。当动点M沿轨迹曲线运动时，则弧坐标s将随时间而变，并可表示为时间t的单值连续函数，即。
式(91)称为动点沿已知轨迹的运动方程。显然，当函数f(t)已知时，则任一瞬间动点在轨道曲线上的位置即可完全确定。
9.1.2直角坐标系。。。
当动点M在空间运动时，它在任一瞬时的位置也可以用直角坐标系的3个坐标x、y、z来确定，如图92所示。3个位置坐标都是时间t的单值连续函数，通常表示。
这就是动点M的直角坐标运动方程。设函数f1(t)、f2(t)、f3(t)都是已知的，则动点M在任一瞬时的位置即可完全确定。由这些方程中消去时间t，即得到x、y、z之间的关系式，这就是动点的轨迹方程。
当动点M始终在同一平面内运动时，如取这个平面为坐标平面xOy，则运动方程就可简化为。
对方程(93)消去时间t之后，即得轨迹方程。
9.1.3矢径法
设动点M沿任一空间曲线运动，选空间任意一点O作为原点，则动点的位置可由矢径表示为。
当动点运动时，矢径r的大小及方向均随时间而改变，因而可表示为时间t的单值连续函数，即。
这就是动点M的矢径运动方程。
例9.1直杆AB两端分别沿两互相垂直的固定直线Ox与Oy运动，如图93所示。试确定杆上任一点M的运动方程和轨迹方程，已知MA=a，MB=b，。
解选取直角坐标系xOy，则动点M的坐标为。
式(96)就是M点的运动方程。从运动方程中消去时间t，则M点的轨迹为，这是以a和b为半轴的椭圆方程。
例9.2刨床的曲柄滑道摇杆机构由曲柄OA、摇杆O1B及滑块A、B组成。当曲柄绕O轴转动时，则摇杆可绕O1轴摆动，摇杆滑块B与扶架相连，当摇杆摆动时可带动扶架作往复运动。已知O1B=l，OA=r，O1O=a，且ra。当曲柄匀速转动时，求扶架的运动方程。
解取坐标系xO1y，如图94所示，令M点表示扶架的运动，由O1BC可知点M的坐标为。
将式(98)代入式(97)，即得扶架的运动方程为。
9.2速度及加速度的计算
9.2.1速度和加速度
如图95所示，设动点在瞬时t的位置是M，在瞬时t+t的位置是M。t越小，则弦MM与弧M？——M？的差别愈小，而在t内的平均速度愈趋近于动点的真实速度。因此，当t趋近于0时，即得动点的瞬时速度，若以v表示速度，则。
所以，动点的速度等于动点的矢径对于时间的一阶导数。
点的速度是矢量，它的方向就是r的方向，也就是轨迹曲线上的切线方向。一般地说，点的运动方向指的是速度的方向。
速度的单位是米/秒(m/s)，也可用公里/小时(km/h)、厘米/秒(cm/s)等常用单位表示。
速度对于时间的变化率称为加速度。设动点M在瞬时t的速度是v，在瞬时t+t的速度是v，如图96所示，则速度的变化是v=v-v；故动点的加速度为。
所以，动点的加速度等于动点的速度对于时间的一阶导数，或等于动点的矢径对于时间的二阶导数。
瞬时加速度的方向是沿着动点的速度端点的切线方向，如图97所示。
加速度的单位是米/秒2(m/s2)，有时也用厘米/秒2(cm/s2)。
9.2.2速度与加速度的直角坐标表示法
由动点的直角坐标运动方程(92)和图98知，矢径r可写作r=xi+yj+zk。(9-11)式中，i、j、k是沿直角坐标轴正向的单位矢量。
根据速度的定义式(99)，可知也可表示为。
这表明，动点的速度在各坐标轴上的投影，分别等于动点的各位置坐标对时间的一阶导数。
由此可知，速度的大小和方向余弦为。
相应地，加速度的大小可表示为。
这表明，动点的加速度在各坐标轴上的投影，分别等于动点的各位置坐标对于时间的二阶导数。由此可知，加速度的大小和方向余弦为。
例9.3动点的运动方程为都是常数，试求动点的运动速度和加速度。
解将给定的条件两边平方相加，得动点的运动轨迹是。
这说明，动点是在半径为r的圆柱面上运动，如图99所示。
由题意可知，动点的速度在坐标轴上的投影为可见动点速度的大小是个常数。
速度与z夹角的方向余弦为。
由图99可以看出，这个夹角是螺线与柱面的母线所成的角。
动点的加速度在直角坐标轴上的投影为。
因此加速度的大小为。
可见，加速度的矢量表达式为。
这就是说，加速度的大小是常数，其方向指向z轴并与z轴垂直相交，如图99所示。
9.3小结
(1)当动点M沿轨迹曲线运动时，则弧坐标s将随时间而变，并可表示为时间t的单值连续函数s=f(t)，称为动点沿已知轨迹的运动方程。显然，当函数f(t)已知时，则任一瞬间动点在轨道曲线上的位置即可完全确定。
(2)当动点M在空间运动时，它在任一瞬时的位置也可以用直角坐标系的3个坐标x、y、z来确定，且3个位置坐标都是时间t的单值连续函数，通常表示为x=f1(t)，y=f2(t)，z=f3(t)，称之为动点M的直角坐标运动方程。若函数f1(t)、f2(t)、f3(t)都是已知的，则动点M在任一瞬时的位置即可完全确定。由这些方程中消去时间t，即得到x、y、z之间的关系式，这就是动点的轨迹方程。
(3)当动点M始终在同一平面内运动时，如取这个平面为坐标平面xOy，则运动方程就可简化为x=f1(t)，y=f2(t)，消去时间t之后，即得轨迹方程F(x，y)=0。
(4)设动点M沿任一空间曲线运动，选空间任意一点O作为原点，则动点的位置可由矢径r=OM来表示。当动点运动时，矢径r的大小及方向均随时间而改变，因而可表示为时间t的单值连续函数r=r(t)，这就是动点M的矢径运动方程。
(5)速度的定义式为，所以动点的速度等于动点的矢径对于时间的一阶导数。点的速度是矢量，它的方向就是r的方向，也就是轨迹曲线上的切线方向。一般地说，点的运动方向指的是速度的方向。
(6)加速度的定义式为；所以动点的加速度等于动点的速度对于时间的一阶导数，或等于动点的矢径对于时间的二阶导数。瞬时加速度的方向是沿着动点的速度端点的切线方向。
(7)速度可表示为。这表明，动点的速度在各坐标轴上的投影，分别等于动点的各位置坐标对时间的一阶导数。速度的大小和方向余弦为。
(8)加速度的大小可表示为。这就表明，动点的加速度在各坐标轴上的投影，分别等于动点的各位置坐标对于时间的二阶导数。加速度的大小和方向余弦为。
思考与习题
91试叙述速度和加速度的导数定义。
92写出速度和加速度在直角坐标系中的表达式，并说明其方向确定的方法。
93如图910所示，机车以匀速v0=20m/s沿直线轨道行驶。车轮的半径r=1m，只滚不滑，将轮缘上的点M在轨道上的起始位置取为坐标原点，并将轨道取为x轴，求M点的运动方程和在M点与轨道接触瞬时的速度及加速度。
94如图911所示，在曲柄连杆机构中，曲柄OA以匀角速度绕O轴转动。已知OA=r，AB=l，连杆上M点距A端长度为b，开始时滑块B在最右端位置。求M点的运动方程和t=0时的速度及加速度。
95如图912所示，摇杆机构的滑杆AB在某段时间内以匀速v向上运动，试用直角坐标法建立摇杆上C点的运动方程和在4时该点速度的大小。设初瞬时。
