压杆稳定及临界荷载、欧拉公式的应用，是工程力学学习的主要内容之一。学习是为了应用，而通过应用提高能力，提高研究问题的创新能力。
8.1压杆的稳定性及临界荷载
在工程中，机器和机械的某些承受轴向压力的杆件，如活塞连杆机构中的连杆、凸轮机构中的顶杆、支承机械的千斤顶等，当压力超过一定数值后，在外界有扰动下，其直线平衡形式将转为弯曲形式，从而使杆件或由之组成的机器失去正常的工作能力，严重的还会造成操作者的生命与财产的重大损失。这种现象，称之为稳定失效。稳定的问题和强度、刚度等问题一样，在机械或其他零部件的设计中占有重要的地位，也是机械工程人员必须要掌握的技术。同时，它对于全面学习机械理论和应用机械知识，提高操作和使用水平，强化专业技能，开展技术创新活动都具有重要的意义。
8.1.1压杆稳定
通过前面的学习知道，压杆也是需要满足强度条件的，即只有在满足了压杆的强度条件下，压杆才能正常安全地工作。但随着压杆应用和技术要求的不同，这一结论对于短粗压杆是正确的，但对于细长压杆就不适用了。例如，一根宽为30mm，厚为2mm，长为400mm的钢板条，设其材料的许用应力[σ]=160MPa，按压缩强度条件计算，它的承载能力为但实验发现，当压力还没有达到70N时，它已经开始弯曲，如图81所示。若压力继续增大，则弯曲变形将急剧增加而使压杆折断，此时的压力远小于9.6kN。压杆之所以失去承载能力，是由于它不能保持原来的直线形状所造成的。可见，细长压杆的承载能力不取决于它的压缩强度，而取决于它保持直线平衡状态的能力。压杆保持直线平衡状态的能力，称为压杆的稳定性。反之，失去直线平衡状态而破坏，这种现象称为丧失稳定或失稳。
为了研究细长压杆的稳定性问题，我们先分析刚性压杆的平衡稳定性问题。图82所示为一刚性直杆AB，受轴向压力F的作用，其A端为固定铰支，杆可绕其旋转，B端处装有一弹簧，弹簧刚度为K。
当杆处于竖起位置时，弹簧处于自然状态，作用力等于0。现若给刚性杆一微小的横向干扰力F，使刚性杆产生微小的偏斜，设杆端B处的位移为，此时的受力情况如图82(b)所示。K为弹簧的作用力，它对A点的矩为Kl，其作用是使刚性杆恢复到原来的竖直平衡位置；而力F对A点的矩Kl则欲使刚性杆继续偏斜。这样，当撤去干扰力F后，刚性杆可能出现两种情况：一是刚性杆回到原来的平衡位置；二是继续偏斜。当轴向荷载F=K时，也就是Kl=F时，刚性杆将不能恢复到原来的竖直平衡位置，也不能继续偏斜，而是停留在干扰后的偏斜位置上，处于一种临界状态，即荷载达到该值时，原来的平衡状态将由稳定转变为不稳定，这个荷载称为临界荷载或临界压力。为了使压杆不失稳，其工作荷载必须小于临界荷载或临界压力。
8.1.2两端铰支细长压杆的临界力由前面学习知道，对于细长直杆，当压力F等于临界压力时，压杆才能在微弯状态下保持平衡。因此，细长压杆的临界力就是压杆在微弯状态下平衡的最小压力。
取一根两端为球铰的细长压杆，使其处于微弯的平衡状态，选取图83所示的坐标系。
距原点为x的任意截面的挠度为y，则弯矩为。
若F取绝对值，按压杆的挠曲形状，如杆轴线上一点的挠度y为正时，曲线是上凸的，该截面上的弯矩应为负，所以在式(81)右端加一个负号。在小变形的前提下，挠曲线的近似微分方程为。
二阶齐次线性微分方程(式(83))的通解为。
式中，C1和C2为积分常数，由边界条件决定。
在压杆左端，当x=0时，y=0，代入式(84)，得。
于是式(84)可写为在压杆右端，当x=l时，y=0，代入式(85)，得在式(86)中C10。因为若C1=0，则y=0，杆轴为直线，这与压杆处于微弯的平衡状态相矛盾。因此，只能是。
式(88)表明，使压杆保持曲线形式平衡的压力，在理论上是多值的。但其中有实际意义的是使压杆处于微弯状态的最小压力，即临界力。若取n=0，代入式(88)，得F=0，表明杆件上无压力，与所讨论的情况不符。因此，应取n=1，使得F为最小值。于是可求得临界力为。
式(89)又称为欧拉公式。
若考虑约束，则。
式中，μ为长度系数。表81所示是几种细长压杆的长度系数。
8.2欧拉公式的应用
8.2.1具体应用
例8.1有一矩形截面压杆如图84所示。一端固定，一端自由。材料为钢，已知弹性模量E=200GPa，长l=2m，b=40mm，h=90mm。试计算此压杆的临界荷载。若b=h=60mm，长度相等，此压杆的临界荷载又为多大？
解如图84所示。由题意知。
因为IyIz，应按Iy计算临界荷载，将其代入式(89)，得。
若b=h=60mm，长度相等，则截面的惯性矩为。
8.2.2适用范围
1.临界应力
将压杆的临界荷载除以横截面面积，便得到横截面上的应力，称为临界应力，用σcr表示，即。
2.适用范围
只有在压杆的临界应力σcr不超过材料的比例极限σp时，才可应用欧拉公式，即。
8.3小结
(1)压杆保持直线平衡状态的能力，称为压杆的稳定性。反之，失去直线平衡状态而破坏，称为丧失稳定或失稳。
(2)为了使压杆不失稳，其工作荷载必须小于临界荷载或临界压力。
(3)细长压杆的临界力就是压杆在微弯状态下平衡的最小压力。
(4)欧拉公式：。若考虑约束，则F。
(5)压杆的临界应力。
(6)只有压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，才可应用欧拉公式。
思考与习题
81由于强度或刚度不足与由于失稳而使杆件不能正常工作，有何本质区别？试举例加以说明。
82试说明有哪些内在的原因可能引起细长压杆的失稳。
83压杆的临界力与其承受的荷载大小有无关系？为什么？
84两端铰支的圆截面压杆，其直径d=50mm，长度l=1m，则临界力为。
试问此答案是否正确？为什么？
85如图85所示的压杆，两端为球铰支座，已知E=200GPa，试分别在下列情况下确定其临界荷载：
(1)圆形截面，l=1.2m，d=30mm；(2)矩形截面，l=1.2m，h=2b=50mm。
863根细长压杆，其约束情况如图86所示。如其他条件完全相同，试问哪根杆最容易失稳？哪根杆最不容易失稳？
87如图87所示的压杆，由30mm×30mm×4mm的等边角钢制成，杆长l=0.4m。若压杆材料的E=210GPa，试求压杆的临界力。
