第一课时
【教学目标】
初步了解随机事件及其概率的意义,了解随机事件的发生存在着规律性。
【教学过程】
一、设置情景
1名数学家=10个师
在第二次世界大战中,美国曾经宣布:一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力。这句话有一个非同寻常的来历。
1943年以前,在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击。当时,英美两国限于实力,无力增派更多的护航舰。一时间,德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额。
为此,有位美国海军将领专门去请教了几位数学家。数学家们运用概率论分析后认为,舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件,从数学角度来看这一问题,它具有一定的规律性。一定数量的船(为100艘)编队规模越小,编次就越多(为每次20艘,就要有5个编次),编次越多,与敌人相遇的概率就越大。
美国海军接受了数学家的建议,命令舰队在指定海域集合,再集体通过危险海域,然后各自驶向预定港口。结果奇迹出现了:盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降为1%,大大减少了损失,保证了物资的及时供应。
在自然界和实际生活中,我们会遇到各种各样的现象。如果从结果能否预知的角度来看,可以分为两大类:一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件下,它所出现的结果是可以预知的,这类现象称为确定性现象;另一类现象的结果是无法预知的,即在一定的条件下,出现那种结果是无法预先确定的,这类现象称为随机现象。
确定性现象,一般有着较明显的内在规律,因此比较容易掌握它。而随机现象,由于它具有不确定性,因此它成为人们研究的重点。
随机现象在一定条件下具有多种可能发生的结果,我们把随机现象的结果称为随机事件。
本单元就是用数量关系来研究、刻画随机现象的。
二、探索研究
1.随机事件
(出示投影)下列哪些是随机事件?
(1)导体通电时发热;
(2)某人射击一次,中靶;
(3)抛一石块,下落;
(4)在常温下,焊锡熔化;
(5)抛一枚硬币,正面朝上;
(6)在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化。
由一名学生回答,然后教师归纳:
在一定条件下必然要发生的事件,叫做必然事件;在一定条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件;在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件。
可让学生再分别举一些例子。
2.随机事件的概率
由于随机事件具有不确定性,因而从表面上看,似乎偶然性在起着支配作用,没有什么必然性。但是,人们经过长期的实践并深入研究后,发现随机事件虽然就每次试验结果来说具有不确定性,然而在大量重复试验中,它却呈现出一种完全确定的规律性。
一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率mn总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记做P(A)。
对于概率的统计定义,教师应说明以下几点:(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验;(2)只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常数才叫做事件A的概率;(3)概率是频率的稳定值,而频率是概率的近似值;(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小;(5)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0。因此0≤P(A)≤1。
3.例题分析
例1指出下列事件中,哪些是不可能事件?哪些是必然事件?哪些是随机事件?
(1)若a、b、c都是实数,则a(bc)=(ab)c;(2)没有空气,动物也能生存下去;
(3)在标准大气压下,水在温度90℃时沸腾;(4)直线y=k(x+1)过定点(-1,0);(5)某一天内电话收到的呼叫次数为0;
(6)一个袋内装有性状大小相同的一个白球和一个黑球,从中任意摸出1个球则为白球。
(由学生口答,答案:(1)(4)是必然事件;(2)(3)是不可能事件;(5)(6)是随机事件。)
例2对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下:抽取台数501002003005001000
优等品数4092192285478954
(1)计算表中优等品的各个频率;
(2)该厂生产的电视机优等品的概率是多少?
(由一名学生板演后,教师纠正)
解:(1)各次优等品的概率为
0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954
(2)优等品的概率是0.95。
三、反馈练习
1.某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:射击次数(n)102050100200500
击中靶心次数(m)9194491178451
击中靶心频率(mn)
(1)计算表中击中靶心的各个频率;
(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少?
(由一名学生板演后,教师讲解)
2.问答:
(1)试举出两个必然事件和不可能事件的实例;(2)不可能事件的概率为什么是0?
(3)必然事件的概率为什么是1?
(4)随机事件的概率为什么是小于1的正数?它是否可能为负数?
参考答案
1.解:(1)击中靶心的各个频率依次是:0.9,0.95,0.88,0.91,0.89,0.902
(2)这个射手击中靶心的概率约为0.90。
2.略。
四、总结提炼
1.随机事件的概念
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件。
2.随机事件的概率的统计定义
在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率mn总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率。
3.概率的性质:0≤P(A)≤1。
五、布置作业
1.课本上P114练习1,3。
2.上抛一个刻着1,2,3,4,5,6字样的正六面体方块;(1)出现字样为“5”的事件的概率是多少?
(2)出现字样为“0”的事件的概率是多少?
六、板书设计
随机事件的概率(一)
(一)引入新课
(二)随机事件
(三)随机事件的概率
(四)例题分析
例1
例2
练习
(五)小结
第二课时
【教学目标】
通过等可能性事件的概率的讲解,得到一种较简单、较现实的计算随机事件的概率的方法。
【教学过程】
一、设置情境
两位同学各自进行一次抛掷硬币的实验,在抛掷1000次的情况下,统计一下出现国徽面向上的次数m,然后再计算m100,以求得抛掷硬币事件的统计概率,再把两位同学得出的结果作一比较。
师问:每位同学得到的结果是否接近于同一个小于1的正数0.5?你们是否已经感受到计算随机事件概率的繁琐性?大量重复的试验是否可以避免?
二、探索研究
1.等可能性事件的意义
对于满足下面特点的随机事件叫做等可能性事件:(1)对于每次随机试验来说,只可能出现有限个不同的试验结果。
(2)对于上述所有不同的试验结果,它们出现的可能性是相等的。
随机事件的概率,一般可以通过大量重复试验求得其近似值,但对于等可能性事件就可以不通过重复试验,而只通过一次试验中可能出现的结果的分析来计算其概率。
例如,掷一枚均匀的硬币,可能出现的结果有:正面向上,反面向上
这2个。由于硬币是均匀的,可以认为出现这两种结果的可能性是相等的,即可以认为出现“正面向上”的概率是12,出现“反面向上”的概率也是12,这与前面表中提供的大量重复试验的结果是一致的。
2.等可能性事件的概率的计算方法(概率的古典定义)
一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是1n。如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率为:P(A)=mn(m≤n)
从集合角度看,事件A的概率可解释为子集A的元素个数与全集I的元素个数的比值,即:P(A)=card(A)card(I)=mn等可能性事件的概率可以用上面的公式计算。
例1一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数1,2,3,4,5,6六个数,将这个正方体玩具先后抛掷2次。
计算:(1)一共有多少种不同的结果?
(2)其中向上的数之和是5的结果有多少种?
(3)向上的数之和是5的概率是多少?
解:(1)将正方体玩具抛掷一次,它落地时向上的数有6种结果,根据分步计数原理,先后将这种玩具抛掷2次,一共有:6×6=36种不同的结果。
(2)在上面的结果中,向上的数之和是5的:(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)4种。
(3)由于正方体玩具是均匀的,所以36种结果是等可能出现的,记“向上的数之和是5”为事件A,则:P(A)=436=19
教师点评:此例反映了计算等可能性事件的概率的方法与步骤。
例2现有数学、语文、英语、物理和化学书各1本,从中任取1本。求取出的是理科书的概率。
解:因为有数学、语文、英语、物理和化学书各1本,共5本书,所以从中任取回本书有5种结果;又因为理科书有数学、物理、化学书各1本,共3本,从中取出的书是理科书有3种结果。
记“取出理科书”为事件A,则P(A)=35
由此归纳出计算等可能性事件的概率的步骤(由学生归纳,教师补充):(1)计算所有基本事件的总结果数n。
(2)计算事件A所包含的结果数m。
(3)计算P(A)=mn
三、演练反馈
1.若两个袋内分别装有写着0,1,2,3,4,5这六个数字的6张卡片,从每个袋内各任取1张卡片,求所得两数之和等于5的概率。
(由一名学生板演后,教师讲解)
2.有分别写有1,2,3,…,50号的扣张卡片,从中任取1张,计算:(1)所取卡片的号数是3的倍数的有多少种情况?
(2)所取卡片的号数是3的倍数的概率。
(由一名学生板演后,教师讲解)
3.已知在20个仓库中,有14个仓库存放着某物品,现随机抽查5个仓库,求恰好2处有此物品的概率。
参考答案
1.解:记“所得两数之和等于5”为事件A。
先计算基本事件的总结果数n=6×6=36;然后计算事件A包含的结果数m。两数之和等于5的有序数对有(0、5),(1、4),(2、3),(3、2),(4、1),(5、0)
∴m=6;
再计算事件A的概率
2.解:(1)由48=3+3(n-1)
得n=16
则所取卡片的号数是3的倍数的有16种情况。
(2)记所取卡片的号数是3的倍数“为事件A,则P(A)=1650=825
3.解:P(A)=C214·C36C520≈0.12
四、总结提炼
通过计算等可能性事件的概率,可以看出P(A)=mn既是等可能性事件的概率的定义,又是计算这种概率的基本方法。根据这个公式计算时,关键在于求出n、m。在求n时,应注意这n种结果必须是等可能的;在求m时,可采用分析法,也可结合图形采取枚举法数出A发生的结果数。
五、布置作业
1.课本P120习题10.5 2,3.2.某人午觉醒来,发觉表停了。他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间短于10分种的概率。
参考答案
1.略;2.16
六、板书设计
随机事件的概率(二)
(一)设置情境
问题
(二)等可能性事件的概率
1.意义2.计算方法
(例题分析)
例1
例2
练习
(四)小结
第三课时
【教学目标】