C0n,C1n,C2n,…,cnn
从函数角度看,Crn可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是{0,1,2,…,n}
2.二项式系数的性质
1)对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。这一性质可直接由公式Cmn=cn-mn得到。
2)增减性与最大值
由于
Ckn=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)k·(k-1)!
Ck-1n·n-k+1k
所以Ckn相对于Ck-1n的增减情况由n-k+1k决定。由n-k+1k>1k<n+12.
可知,当k<n+12时,二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数cn2n取得最大值;当n为奇数时,中间两项的二项式系数cn-12n、cn+12n相等,且同时取得最大值。
3)各二项式系数的和
在二项式定理中,令a=b=1,则
C0n+C1n+C2n+…+cnn=2n.
这就是说,(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.
同时由于C0n=1,上式还可以写成
C1n+C2n+C3n+…+cnn=2n-1.
这是组合总数公式,表示在n个不同元素里,每次取1个、2个、…、n个元素的所有组合数的和。
3.例题分析
例1证明在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
证明:在展开式
(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-1b+C2nan-2b2+…+cnnbn中,令a=1,b=1,得(1-1)n=C0n-C1n+C2n-C3n+…+(-1)ncnn.
就是:
0=(C0n+C2n+…)-(C1n+C3n+…)
∴C0n+C2n+…=C1n+C3n+…
即在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数的和。
例2已知(3x-2x)n的展开式中,第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍,求展开式中x的一次项。
解:依题意:
C3n=7cn-1n
整理得(n-1)(n-2)=6×7
∴n=0
设展开式中含x的项是第r+1项,则
Tr+1=Cr8(3x)8-r(-2x)r=(-2)rCr8x8-r3-r2
∴8-r3-r2=1
解得r=2
故展开式中含x的项为第3项,即:
T3=(-2)2C28x=112x.
三、演练反馈
1.已知(1-3x)n的展开式中的系数和比(x-2x)n的展开式中的二项式系数和大240,求(x-2x)n的展开式中的第3项。
(由一名学生板演后,教师讲评,着重指出“二项式数”与“系数”的区别)
2.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的系数。
3.求(2x+3y)28的展开式中系数最大的是第几项?
(学生思考后,教师引导分析,展开式中系数最大的项不是中间一项)
4.设:(2x+3)3=a0+a1x+a2x2+a3x3。
求:(a0+a2)2-(a1+a3)2的值。
(学生练习后,教师讲解,指出“取特值”是二项式定理中常用的方法)
参考答案
1.解:依题意有4n-2n=240解得n=4于是(x-2x)4的展开式中的第3项是T3=C24 x2(-2x)2=24
2.解:因为在(x-1)11的展开式中,各项的二项式系数与项的系数相等或互为相反数,又展开式中二项式系数最大的项有两项,分别为第六项C511x6(-1)5、第七项C611x5(-1)6,所以系数最小的项的系数为-C511=-462
3.解:设展开式中第r+1项的系数最大,则Cr28·228-r·3r>Cr-128·229-r·3r-1
Cr28·228-r·3r>Cr+128·227-r·3r+1
即3Cr28>2Cr-128
2Cr28>3Cr+128整理得3(29-r)>2r2(r+1)>3(28-r)
解得1625<r<1725
∴r=7
故第18项的系数最大。
4.解:在(2x+3)3=a0+a1x+a2x2+a3x3
令x=1,得(a0+a2)+(a1+a3)=(2+3)3
令x=-1,得(a0+a2)-(a1+a3)2=(3-2)3
两式相乘得
(a0+a2)2-(a1+a3)3=(-1)3=-1.
四、总结提炼
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握好,同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别,不能混淆,只有二项式系数最大的才是中间项,而系数最大的不一定是中间项,尤其要理解和掌握“取特值”法,它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
五、板书设计
二项式定理(三)
(一)设置情境
(二)探索研究
1.“杨辉三角”的来历及规律
2.二项式系数的性质
3.例题分析
例1
例2
练习
(三)总结提炼
第四课时
【教学目标】
用二项式定理与二项式系数的性质解答一些简单问题。
【教学过程】
一、设置情境
(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+cnnbn,是二项式展开式定理,主要研究了以下几个方面的问题:
(1)展开式。
(2)通项公式。
(3)二项式系数及其有关性质。
本节课我们就来应用它们解决一些简单的问题。
二、探索研究
例1求(a+b+c)10展开式的项数。
解:(a+b+c)10=[(a+b)+c]10
=(a+b)10+C110(a+b)9c+C210(a+b)8c2+…+C1010c10
∴(a+b+c)10展开式的项数是
11+10+9+…+1=66
例2已知(x-26x)n的展开式中,第3项的系数与第5项的系数之比是1∶4,且第4项等于-1600,求x的值。
解:由于
T3=C2n(x)n-2·(-26x)2
T5=C4n(x)n-4·(-26x)4
依题意有
4C2n∶16C4n=1∶4即C2n=C4n∴n=6
这时
T4=C36(x)3·(-26x)3=-160x2
∴-160x2=1600
解得x=10.
例3求(1-x)3(2x2+1)5的展开式中x2项的系数。
解:在(1-x)3中x2项的系数为C23(-1)2=3,常数项为1
在(2x2+1)5中x2项的系数为2C24=10,常数项为1
故在(1-x)3(2x2+1)5的展开式中x2项的系数为3×1+10×1=13.
(另解)(1-x)3(2x2+1)5
=(1-x)(1-x)(1-x)(2x2+1)…(2x2)+1共5个由于积的展开式的每一项,是从每个括号里任取一个字母的积,故展开式中x2项的系数为C23(-1)2·16+C15·2·17=13
三、演练反馈
1.已知(1+x)m+(1+x)n(m、n∈N+)的展开式中x的系数为19,求:(1)展开式中x2系数的最小值;
(2)当x2的系数最小时,求x7的系数。
(由一名学生板演后,教师讲评)
2.已知二项式(axm+bxn)12中,a>0,b>0,2m+n=0但mn≠0.若展开式中的最大系数项是常数项,求ab的取值范围。
(学生练习后,教师讲解)
3.求证:C0n1+C1n2+C2n3+…+cnnn+1.
(学生思考后,教师讲解)
参考答案
1.解:(1)由已知得C1m+C1n=19,即m+n=19,(m、n∈N+)。
展开式中x2的系数是
C2m+C2n=12[m(m-1)+n(n-1)]=12[m(m-1)+(19-m)(18-m)]=m2-19m+171
=(m-192)2+3234
∵m∈N+且1≤m≤18
∴当m=9或m=10时,x2的系数有最小值81.
(2)当x2的系数有最小值81时,m=9,n=10或m=10,n=9,这时x7的系数是C79+C710=C29+C310=156.
2.解:设展开式中第r+1项为常数项,由于Tr+1=Cr12(axm)12-r(bxn)r=a12-rbrCr12xm(12-r)+nr依题意有
m(12-r)+nr=0
又2m+n=0
∴n=-2m代入上式得
3m(4-r)=0
而m≠0
∴r=4
即展开式中第五项为常数项。
由于第五项系数最大,则
C412a8b4>C512a7b5C412a8b4>C312a9b3
解得85<ab<94.
3.证明:左边1k+1Ckn=1k+1·n!k!(n-k)!=1n-1·(n+1)!(k+1)!(n-k)!=1n+1Ck+1n+1
∴C0n1+C1n2+C2n3+…+cnnn+1=1n+1(C1n+1+C2n+1+…+cn+1n+1)右边故原式得证。
四、总结提炼
二项式定理主要涉及展开式、通项公式、二项式系数或系数,要注意它们的综合运用,对于组合恒等式要分析其特点,正确地选择适当的方法。
五、布置作业
1.已知(xx+23x)n的展开式中的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项、一次项?如果没有,说明理由;如果有,求出它们的值。
2.设f(x)=(1+x)+2(1+x)2+3(1+x)3+…+10(1+x)10,求f(x)的展开式中x2的系数。
3.已知数列{an}满足an=n·2n-1(n∈N),是否存在等差数列{bn},使an=b1C1n+b2C2n+…+bncnn对一切自然数n均成立?并证明你的结论!
六、板书设计
二项式定理(四)
(一)问题引入
(二)例题分析
例1
例2
例3
练习
(三)小结
【习题精选】
一、选择题
1.x-2x6展开式中的常数项是
A.-160B.-40C.40 D.160
2.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是
A.-297B.-252C.297 D.207
3.(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a1+a3+a5+…+a2n-1等于
A.3n-1B.3n+1C.12(3n-1)D.12(3n+1)
4.设x=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1,它等于下式中的
A.(x-2)4B.(x-1)4C.x4D.(x+1)4
二、填空题
5.9192除以100的余数是。
6.计算1+2C1n+4C2n+…+2ncnn=。
7.在(1+x)6(1-x)4的展开式中,x3的系数是(结果用数值表示)。
三、解答题
8.已知(1+2x)n展开式中,某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍,而等于它后一项系数的56.试求该展开式中二项式系数最大的项。
9.在x+124x4的展开式中,已知前三项系数成等差数列,求展开式里所有的有理项。
10.求(1+2x-3x2)6的展开式中含x5的项。
参考答案
一、选择题:1.A2.D3.C4.C
二、填空题:5.816.3n7.-8
三、解答题:
8.解:设(1+2x)n展开式的第r+1项的系数是它前一项系数的2倍,而等于它后一项系数的56,即Crn2r=2Cr-1n2r-1(1)Crn2r=56Cr+1n2r+1(2)
由(1)得2r-1=n(3)由(2)得5)(n-r)=3(r+1)(4)由(3)、(4)可得n=7,r=4.所以二项式系数最大的项是第4项及第5项,T4=C37(2x)3=280x32T5=C47(2x)4=560x2.
9.解:展开式的前三项分别是:T1=C0x(x)n,这一项系数为C0n=1,T2=C1n(x)n-1·124x,这一项的系数是12C1n=n2,T3=C2n(x)n-2·124x2.这一项的系数是14C2n=18n(n-1)。因为T1,T2,T3的系数成等差数列,所以12n-1=18n(n-1)-n2,即n2-9n+8=0,解此方程得n=8,n=0(舍去)。令第r+1项为有理项,则有Tr+1=Cr8(x)8-r·124xr=Cr812r·x8-r2-r4.欲求有理项,只需求12(8-r)-14r为整数。因此r取0,4,8,代入Tr+1项分别得各有理项:T1=x4,T5=358x,T9=1256x-2.
10.解:(1+2x-3x2)6=[1+(2x-3x2)]6
=1+C16(2x+3x2)+C26(2x-3x2)2+C36(2x-3x2)3+…+C66(2x-3x2)6
依题意,只有C36(2x-3x2)3,C46(2x-3x2)4,C56(2x-3x2)5三部分中能有含-168x5的项。它们分别是C36·C23·2·(-3)2x5,C46C14·23·(-3)·x5,C56·25·x5.把这三项合并,得-168x5.所以展开式中,含x5的项是-168x5.