在这三年期间，数学界失去了两颗最璀璨的新星。阿贝尔和伽罗瓦都是在死后才得到了他们应有的重视。１８２９年，雅可比从勒让德那里得知阿贝尔的“丢失了的”手稿的事，１８３０年挪威驻巴黎领事要求寻找阿贝尔的论文，引发了一场外交风暴。柯西最终找到了阿贝尔的研究报告，但是又被法国科学院的编辑给弄丢了！同年，阿贝尔同雅可比一起获得了数学大奖，不过这时阿贝尔已经死了。阿贝尔的研究报告最终于１８４１年出版。１８４６年刘维尔编辑发行了伽罗瓦的一些手稿。刘维尔悲叹道：法国科学院由于伽罗瓦的文章的含糊不清而拒绝接受。然而“当一个试图把读者从一条他人走过的路带向一个新的领域时，的确需要清晰的描述”。刘维尔接着写道，“伽罗瓦已经不存在了，我们不要再纠缠于无用的相互责难之中，让我们忘记过失，关注我们所取得的成绩。”伽罗瓦在其短暂的一生中的成果总计不到６０页。论战仍没有结束，为报考巴黎高等师范学校和巴黎工学院的考生而刊发的数学杂志的编辑，对伽罗瓦事件作出了以下的评述：“一个才智过人的考生由于弱智的主考官而落榜，因为他们不理解我，我是一个野蛮人。”
优美的代数语言
我们已经看到了代数是怎样从几何空间的束缚中解放出来的。我们还看到了，从笛卡儿起，ｘ与ｙ这样的代数符号是怎样表示任意数值以及如何按与算术的法则相容的方式组合起来的。本章回顾代数学在欧洲的发展历程。最初由英国采纳，然而再把形成的方法在欧洲大陆推广。随着代数学不同通用语言的传播，使数学到底是什么这一根本问题，再次成为讨论的焦点。
对任意数ｘ，ｙ和ｚ算术运算的主要代数法则
ｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘ加法满足交换律：两数之和与加数的顺序无关ｘ·ｙ＝ｙ·ｘ乘法满足交换律ｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘ加法满足交换律：两数之和与加数的顺序无关ｘ＋０＝ｘ加法含有单位元“０”，它使所有的数不变ｘ·１＝ｘ乘法含有单位元“１”，它使所有的数不变ｘ·（ｙ＋ｚ）＝ｘ·ｙ＋ｘ·ｚ乘法与加法相结合英国的数学分析滞后于欧洲的其他国家。大部分原因是由于英国人忠于牛顿的流数术的符号体系，而这一符号体系比不上莱布尼兹的符号体系：ｄｙ／ｄｘ。英国人对分析学的重新定位虽然在初期受到抵制，但给英国的数学带来了深远的影响。１８１７年，乔治·皮科克（ＧｅｏｒｇｅＰｅａｃｏｃｋ，１７９１—１８５８）在剑桥大学担任荣誉学位考试官时，最终使用微分符号代替了流数术的符号。查尔斯·巴贝奇说，１８１３年创建的分析学会的目标，是促进“使用微分符号取代流数术符号”，另一目标是“使世界更合理”。皮科克在他的《代数论》中表明要把代数组建成“一种可论证的科学”。这项工作的第一步是把算术代数和符号代数分开：算术代数是由数和运算符组成的，而符号代数是“关于符号与运算符的组合的科学。这样的组合仅依赖于某些特定规则，与符号本身的特定值无关”。这看起来模糊的陈述却打开了对代数学广泛研究的大门。
凭着坚定的决心和聪明才智，一个完全不知名的乡村中学教师乔治·布尔（ＧｅｏｒｇｅＢｏｏｌｅ，１８１５—１８６４）开始着手写他的第一篇关于数理逻辑的论文。后来布尔成了德·摩尔根的朋友。德·摩尔根在有关逻辑的争论中得到了苏格兰哲学家威廉·汉弥尔顿的支持。这里的汉弥尔顿与爱尔兰的威廉·罗文·汉弥尔顿不是同一人。这场辩论现在来说并不重要，但它却激励了通过自学成为数学家和语言学家的布尔于１８４７年发表了一篇题为《逻辑的数学分析》的短篇论文。就在同一年，德·摩尔根自己的《形式逻辑》也出版了。两年后，很可能是由于德·摩尔根的支持，布尔被任命担任在爱尔兰的科克新成立的女王学院的数学教授。布尔坚定地认为逻辑应被看成是数学的一个分支而不是形而上学的一部分，而且他还认为逻辑的规则不是来源于一般的语言，而是以纯形式元素构造出来的。只有当逻辑结构形成以后，才有可能用语言来解释。他否认数学只是研究数和量的科学这一观点，而这一观点可以追溯到希腊。但他却支持任何相容的符号逻辑体系都是数学的一部分的观点。这使得我们第一次清楚地认识到：数学不再是单纯地研究数和量的科学，而且还是研究结构的科学。１８５４年，布尔在他出版的《思维规律的研究》中阐述了上述观点，并建立了形式逻辑和一种新的代数，这种代数我们今天称之为布尔代数。布尔代数实质上是事物一些类的代数。变量ｘ不再表示数，而是表示从一个给定域中选取一个类的智力行为。例如，ｘ可以是“人”的域中“男人”的类。除了附加公理ｘ２＝ｘ之外，符号所遵循的规则与算术代数相同。在算术代数中只有０，１满足上述等式。而在布尔代数中，ｘ２＝ｘ总是永真的。例如取“人的集合”两次，仍是人的集合。布尔同时也认为１和０有特殊意义：１代表全域，而０代表“空集”。
德·摩尔根（ＡｕｇｔａｓｔｕｓＤｅＭｏｒｇａｎ，１８０６—１８７１）是新代数的坚定支持者。他出生于印度，就学于剑桥大学三一学院。但是他不被认为是牛津或剑桥学派的一员，原因是尽管他是英格兰教的成员，但是他拒绝参加为获得硕士学位而需的神学考试。然而，在他２２岁那年，他被任命为新成立的长期以来一直被称为伦敦大学而后来改称为伦敦学院的教授。他极大地推进了皮科克的思想。早在１８３０年，他就曾叙述道：“除了一个例外以外，本章的所有算术或代数的陈述及符号均无具体的意义。符号代数是由符号及符号组合的规则决定的、许多具有不同意义的代数的语法规则。”这里的例外是等号：ｘ＝ｙ表示ｘ和ｙ必须具有相同意义。这一陈述记载于名为《双重代数与三角学》（１８３０年）一书中。这里“双重代数”指的是复数的二元性，以区别于关于实数的“单重代数”。可是，德·摩尔根似乎没有完全抓住机会推广自己的意见。他虽然看到了单重代数和双重代数具有相似性，但他仍然相信不可能存在三重代数和四重代数。后来证明他的这一想法是错误的。
尽管双亲早逝，但汉弥尔顿的才能很早就显现了出来。作为一个天才的语言学家，他５岁就能读希腊文、希伯来文和拉丁文。他进入了都柏林三一学院学习。２２岁当他还在读大学时，汉弥尔顿就已经获得了爱尔兰皇家天文学家、邓辛克天文台台长和天文学教授的称号。他的一个非常喜爱的研究课题，是空间和时间不可分的相关性，因为几何学是空间的科学，代数学是时间的科学。１８３３年，汉弥尔顿在爱尔兰皇家学会的讲演中，对复数ａ＋ｉｂ作为（ａ，ｂ）这样的有序数偶，并给出了ａ＋ｉｂ的相加和相乘的几何解释。
（ａ，ｂ）＋（ｃ，ｄ）＝（ａ＋ｃ，ｂ＋ｄ）（ａ，ｂ）·（ｃ，ｄ）＝（ａｃ－ｂｄ，ａｄ＋ｂｃ）后来，他试图把二维复数扩展到三维。在曲面上看起来很简单，定义三维复数ｚ＝ａ＋ｉｂ＋ｊｃ，而ｚ的模为ａ２＋ｂ２＋ｃ２。定义加法运算非常简单，但乘法运算无法进行，因为：乘法运算不能交换。为了三维数和高维数，耗费了汉弥尔顿１０年的时光。
１８４３年１０月１６日，当他同妻子沿着皇宫边的护城河散步时，突然有了灵感：把二维复数扩展到四元数而不是三元数，并且放弃乘法交换律。这样，四元数被表示成Ｚ＝ａ＋ｉｂ＋ｊｃ＋ｋｄ，其中ｉ２＝ｊ２＝ｋ２＝ｉｊｋ＝－１。这意味着ｉｊ＝ｋ而ｊｉ＝－ｋ，所以不满足交换律，而且整个结构是相容的。这样，一种新的代数产生了。汉弥尔顿停下脚步并把这一公式用小刀刻在了布劳顿桥的石柱上。当天，他通知爱尔兰皇家学会，说他要在下一次会议上宣读一篇关于四元数的文章，他把这一四维数组叫做四元数。
这一重要的发现不仅产生了新代数，而且使得数学能够自由地构造出新的代数体系。这也是他第一次表述了现在我们所知道的非交换代数的理论。非交换意味着：在三维空间中，两个相继的旋转按照旋转的次序的不同可以得到不同的结果。这与二维空间不同。汉弥尔顿的一生都用于研究这一新代数，并于１８５３年发表了《四元数讲义》。他的主要工作是把四元数用于几何学、微分几何学及物理学。我们在下一章将会看到麦克斯韦用四元数的记号给出了电磁学的方程。汉弥尔顿确信四元数是完整描述宇宙规则的关键。他死于１８６５年，生前未完成《四元数基础》。这部书后来由他的儿子编辑出版。
这一时期，不仅代数学脱离了几何学的束缚，而且几何学也从空间的概念中解放出来。在第１６章，代数学和几何学都逐渐被作为纯抽象的结构来研究。我们熟悉的算术代数及二维和三维几何都是它们的特殊情况。
在新代数领域中，我们看到了美国数学正慢慢崛起。哈佛大学数学教授和《测地学观察》主编本杰明·皮尔斯（ＢｅｎｊａｍｉｎＰｅｉｒｃｅ，１８０９—１８９０）受到了汉弥尔顿研究的影响，并将汉弥尔顿的研究传播到了美国。皮尔斯构造了１６２种不同代数的表。每种代数从２个到６个元素开始，将它们用加法运算和乘法运算结合起来，并满足乘法对加法的分配律。每个代数体系都有加法单位元“０”，但不一定含有乘法单位元“１”。这些线性结合代数被表示成矩阵。在１９世纪７０年代，作为哈佛大学教授的皮尔斯，也只能借助女士抄写用石版印刷来出版他的著作。由此可以想象当时美国的经济状况是多么糟糕，正因如此，皮尔斯的著作只印刷了１００份。皮尔斯的儿子查尔斯·桑德斯·皮尔斯（ＣｈａｒｌｅｓＳａｎｄｅｒｓＰｅｉｒｃｅ，１８３９—１９１４）继承了父亲的工作，证明了１６２个代数体系中只有３个体系可以唯一定义除法运算：它们是算术代数、复数代数和四元数代数。再回过头来看英国，威廉·金顿·克利福德（ＷｉｌｌｉａｍＫｉｎｇｄｏｎＣｌｉｆｆｏｒｄ，１８４５—１８７９）创建了现在我们所知道的克利福德代数，特别是研究了主要用于描述非欧空间运动的八元数和十元数。代数发展到这一步已经走了很长的一段路程。
此后，数学将朝沿着交织在一起的不同的方向发展。布尔的追随者将数学应用于逻辑，产生了代数逻辑。皮亚诺以及后来的罗素试图从逻辑中得到数学：一个可以称为逻辑主义的宏伟计划。另一些人鉴于出现了如此多的新数学结构，开始寻找数学的可靠基础以巩固数学体系。
