１６世纪，数学家们在偶然中发现了复数。到了１８世纪，复数系作为实数的扩张而被建立起来。但在处理复数时产生了一些错误。例如在欧拉的《代数引论》（１７７０年）中，欧拉提到－２×－３＝槡６而不是－槡６，这使得以后的学者们感到困惑。即便是高斯的杰作《算术研究》（１８０１年）也回避了所谓“虚数”的使用。关于复数的研究成为一门新的数学分支。《算术研究》的最重要的成果，是证明了代数基本定理。高斯充分意识到这一定理的重要性，因此，他花费了许多年的时间来研究这一定理。直到１８４９年，他首次把这一定理推广到了复数域。用现代的术语来描述的话，代数基本定理是：对任意实系数或复系数有限多项式方程，它的根或是实数或是复数。这一定理对长期争论的下述问题给出了否定的答案：高次方程的根是否具有比复数更复杂的“高层次”的结构？高斯认识到这一定理的重要性，在此之后又给出了更详细的证明。
当时，代数中最棘手的问题是五次方程能否用代数方法，即通过有限代数步骤求解的问题。在学校里我们学习过二次方程的解法。在１６世纪，人们又知道了三次方程和四次方程的解法，但是数学家们没有找到五次方程的解法。对于五次方程解的存在性问题，代数基本定理似乎给出了解法存在的希望。然而，这一定理仅仅是保证了解的存在性，而没有说存在计算严格解的公式（近似数值方法和图形方法已经存在）。这一问题给我们带来了两位悲惨的天才数学家。
尼尔斯·亨里克·阿贝尔（ＮｉｅｌｓＨｅｎｒｉｋＡｂｅｌ，１８０２—１８２９）出生于挪威的一个小村庄中一个贫穷的庞大家族。当时的挪威由于英国和瑞典间的战争而变得日益衰退。一位具有同情心的教师鼓励阿贝尔自学成才，但在他１８岁时，由于父亲的去世，家族的生活重担就落在了这一位年轻虚弱的孩子的肩上。１８２４年，阿贝尔完成了关于五次方程及更高次方程无代数解的研究论文。阿贝尔相信这是他进入学术界的凭证，他将这一论文寄给了当时在哥廷根大学的高斯。不幸的是，高斯似乎没有打开过这封信。
１８２６年，挪威政府最终出资资助阿贝尔周游欧洲。由于他害怕拜访高斯会引来不快，因此他没有去哥廷根而是去了柏林。在那里他结识了普鲁士教育部的工程和数学顾问奥古斯特·克列尔（ＡｕｇｕｓｔＬｅｏｐｏｌｄＣｒｅｌｌｅ，１７８０—１８５５）。克列尔当时正在创办《纯粹与应用数学杂志》（现名《克列尔杂志》）。这样，阿贝尔的研究找到了发表的地方。阿贝尔在这一杂志创刊期间发表了许多论文，并使这一杂志很快成为有声望的出版刊物。阿贝尔在这一杂志上发表了五次方程不可解的证明之后，离开德国去了巴黎。在巴黎，阿贝尔变得绝望。因为他发现很难从法国数学家那里得到必要的支持。他找到了柯西（Ａｕｇｕｓｔｉｎ—ＬｏｕｉｓＣａｕｃｈｙ，１７８９—１８５７）。柯西是数学分析领域的重要人物，但是与人很难相处。就像阿贝尔自己所说的那样：“柯西是个疯子，又拿他没有办法。”假如我们可以对高斯和柯西所带来的伤害给出正当的理由的话，那就是：当时五次方程已经是臭名昭著了，不论是成名的数学家还是一些无名小卒都试图给出答案，从而一举成名。阿贝尔回到了挪威，由于肺结核而更加虚弱，但他继续向《克列尔杂志》寄文章。他死于１８２９年。他本人至死也不知道他的声望已经高不可及，就在他死后两天，一封来自柏林的就职邀请被人送到他的家中。
阿贝尔证明了五次以上的多项式方程不能利用根式求得一般解。然而，可解的必要条件及其求解方法要等到伽罗瓦来给出。伽罗瓦的一生是短暂的而且充满了灾难。作为一位杰出的天才数学家，他性情易变和世人对他的不公正，使他成为一位悲剧人物。对那些不如他聪明的人，他从不宽容，而且他憎恨权威人士所带来的不公正。伽罗瓦在读到勒让德的《几何原理》（出版于１７９４年并成为之后１００年来几何学的主要教科书）一书之前，他并没有显示出自己的数学才能。他读了《几何原理》之后，就如饥似渴地学习勒让德和阿贝尔的著作。他的狂热、他的自负及他的急躁使他与他的老师以及考试官之间的关系遭到了损害。在数学家的摇篮———巴黎工学院的入学考试时，没有作任何准备的伽罗瓦当然落了榜。由于他遇到了一位赏识他的老师，他落榜的痛苦被暂时压了下去。１８２９年３月，伽罗瓦发表了关于连分数的第一篇论文。他一直认为这是他最重要的工作。伽罗瓦把这些新发现投到了法国科学院。柯西答应给他发表，但是柯西却忘记了自己的诺言，更糟的是柯西把伽罗瓦的手稿给弄丢了。
伽罗瓦的第二次巴黎工学院入学考试的失败成了一个数学逸事：他习惯于用脑而不是用笔来处理复杂的概念，再加上主考官的吹毛求疵，伽罗瓦被激怒了，当发现他的面试很糟时，他把黑板擦扔到了一位主考官的脸上。一个牧师的阴谋诽谤，促使伽罗瓦的父亲自杀，而且在他父亲的葬礼上还发生了一场骚乱。在他父亲死后不久的１８３０年２月，伽罗瓦又写了三篇论文，并投给法国科学院的数学大奖赛进行评选。作为此次大奖赛评委的傅里叶在没有读到这些文稿时就去世了，而从此以后这三篇文稿就再也没有找到。这一系列令人失望的事情无论对谁都是一场考验。这也使伽罗瓦对科学院的体制感到反感。在这一体制下，他没有得到应该得到的一切。他轻率地投身到了政治运动中，成为一名坚定的共和党人。这在１８３０年的法国不是一个聪明的选择。作为最后的一次努力，他将一份研究报告寄给了泊松，而泊松的回应是，这些结果需要进一步的证明。
这是他最后的一线希望。１８３１年，伽罗瓦两次被捕：一次是涉嫌煽动暗杀国王路易菲利普；另一次是由于当权者害怕共和党人造反，他被安上非法穿着他曾加入的当时已解体的炮兵军营的制服这一捏造的罪名，他被判处入狱６个月。在假释期间，一件风流韵事同其他事情一样使他对世人感到厌恶。在给他的亲密朋友夏瓦立叶的一封信中，伽罗瓦述说了对生命希望的破灭。１８３２年５月２９日，他接受了一场决斗，这场决斗的原因至今不明。他在一封给所有共和党人的信中这样写道：“我死于一个声名狼藉、无耻的卖弄风情的女人之手，在一次悲惨的决斗中，我的生命消失了。”伽罗瓦最著名的著作是在决斗的前一夜完成的。在手稿的页边的空白处，他写到“我没有时间了，我没有时间了”。他必须把与理解主要结果无关紧要的一些中间过程留给其他人来完成。他需要写下他所发现的要点。这篇论文中的第一个主要结果就是伽罗瓦理论。文章最后是给夏瓦立叶的遗嘱，他恳求夏瓦立叶去“公开质问雅可比和高斯，要求他们给出评价，不是问他们结果是否真实，而是如何评价这些定理的重要性”。那一天的清晨，伽罗瓦与他的敌手相会，两人相隔２５步远，伽罗瓦在决斗中受了枪伤，第二天早晨死于医院，年仅２１岁。
伽罗瓦的研究基于拉格朗日和柯西的以往研究，但他对关于五次方程的问题做出了突破性的工作，找到了更一般的方法。他并没有抓住原来的五次方程及它的图形解释不放，而是着眼于五次根自身的特性。为了简化起见，伽罗瓦研究了没有实根的所谓的不可约方程（因为如果五次方程有实根，则五次方程就可以分解成四次方程，因此存在代数解法）。一般的，实系数不可约多项式是不能分解成更简单的实系数多项式乘积的多项式。例如，（ｘ５－１）可以因式分解成（ｘ－１）（ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１），而（ｘ５－２）则是不可约的。对于任意给定次数的实系数且无实数解的多项式不可约代数方程，伽罗瓦的方法，是建立能够利用开方根来对方程求解的条件。
这一方法的关键是发现任意不可约代数方程的根不是独立的，而是能用另一个根来表示的。这些关系可以对根的所有可能的置换构成的群，这就是对根的对称群加以形式化而得到。对于五次方程，这样的群含有５！＝５×４×３×２×１＝１２０个元素。伽罗瓦理论的数学工具非常复杂，这也可能是他的理论没能很快被接受的原因之一。但是，从代数方程的解到它们的相应的代数结构的这一抽象性的提高，使伽罗瓦能够从相关的群的性质来判断方程是否可解。不仅如此，伽罗瓦理论还为我们提供了寻找方程解的方法。关于五次方程，刘维尔于１８４６年在他的《纯粹与应用数学杂志》上发表了伽罗瓦的许多研究成果并注释道：“伽罗瓦已经证明了的这一‘美妙的定理’：一个素数次的不可约方程用根式可解，当且仅当它的任意根是任何其中两根的有理函数。”由于不可约五次方程不存在这样的关系，因此五次方程不能用根式求解。
