在3世纪那个纷争不断的时代里，科学文化事业没有停滞不前，同样取得了可喜的成就，刘徽就是那个时期的杰出代表。
刘徽是被公认的中国历史上最杰出的数学家之一，刘徽的数学成就已得到世界范围的承认，但令人遗憾的是，历史上却没有留下任何有关他的翔实生平史料。对于他的一生经历知道的很少，而且没有统一的看法。从零散的史料中推断来看，只能大致知道他的生活年代主要是在三国时期。其出生地大约是在今天的山东省淄博市的淄川。
正在学习的刘徽
刘徽治学态度严谨，认真地对待每一个学术问题，为后世树立了学习的楷模。在求圆面积公式时，在当时计算工具相当简陋的情形之下，他开方能达12位有效数字，这是相当了不起的。他在注释“方程”章节18题时，共计用了1500多字，反复消元运算次数达124次，分毫未差，答案正确无误，即使作为今天大学代数课答卷也毫不逊色。刘徽注《九章算术注》时年仅30岁，可谓是年轻有为。北宋大观三年（1109年），刘徽被封为“淄乡男”之号。
一、编撰《九章算术注》
据《隋书·律历志》载：“魏陈留王景元四年（263年）刘徽注《九章》”。刘徽在长期精心研究《九章算术》之后，大胆采用高理论，运用精计算的方法，潜心为《九章》撰写注解文字。经他手注解的文字内容详细、丰富，他还纠正了原书流传下来的笔误或错误，更有大量独特见解。刘徽创造了许多数学原理并加上严密的逻辑推理和证明，然后应用于各种算法之中，从而刘徽成为了中国传统数学理论体系的奠基者之一。
刘徽编撰《九章算术注》
有史料记载说：“徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注”。又有资料说：“析理以辞，解体用图。庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。”他除为《九章》作过注外，还撰写过《重差》一卷，唐代将《重差》改称为《海岛算经》。他的主要贡献在于史无前例地发明了割圆术，运用极限观念计算圆面积和圆周率；创意地提出了十进分数、小单位数以及求微数思想；定义许多重要数学概念，让后人对一些数学概念真正有了文字上的精确定义，他强调“率”的作用；他运用直角三角形性质建立并推广重差术，形成一种特有的准确的测量方法；提出“刘徽原理”，建立起直线型立体体积算法的理论体系，在例证方面，他采用图形、模型、例题来论证或推广有关算法，加强形象性、说服力和应用性，沿袭下来就形成中国传统数学风格；他采用认真、严肃、客观的精神，区别错误、粗糙的论述，创造精细、逻辑关系缜密的观点，以理服人，为后世学人树立良好的学风；在等差、等比级数方面他也有一些涉及和研究。经他注释的《九章算术》的积极作用是支配了中国古代数学的发展1000多年，是东方数学的典范之一，可与希腊欧几里德（约公元前330—公元前275年）的《原本》所代表的古代西方数学相媲美。
早在刘徽幼年时，他就曾学习过《九章算术》，成年后又继续潜心研究，在魏景元四年（263年）注《九章算术》，并撰《重差》，将其作为《九章算术注》的第十卷。唐初以后，《重差》以《海岛算经》为名单行。刘徽的数学成就几乎是体现在他为《九章算术》所作的注解中。可以说，刘徽的《九章算术注》是我国古代数学上的又一颠峰之作。
刘徽从事数学研究时，他的成绩之一还在于他创造的十进位记数法和计算工具“算筹”，这些都已经使用1000多年了。在世界繁多的记数法中，十进位记数法是最方便、最快捷、最先进的。中国古代数学知识的结晶《九章算术》截止到刘徽那个时代也成书200多年了。《九章算术》主要是中国古代人民在生产劳动、丈量土地和测量容积等实践活动中所创造的数学理论知识，包括方田、粟米、哀分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，这些都成为了中国古代算法的基础，它总结有246个应用问题和上百个计算公式，有完整的分数四则运算法则的文字综述，有比例和比例分配算法，开平方、开立方程序，若干面积、体积公式，方程术——线性方程组解法，解勾股形公式，正负数加减法则和简单的测望问题算法。其中许多成就处于世界领先地位。在公元元年的前一年，盛极一时的古希腊数学逐渐走向衰微，《九章算术》的出现，标志着世界数学研究中心从地中海沿岸转移至中国，开始了东方以应用数学为中心占据世界数学舞台主导地位1000多年的昌盛局面。
在问题的阐述上，《九章算术》的一种方式是先提出术文，也就是命题，后列出几个例题，或者是先列出一个或几个例题，后提出术文。然而它对所用的概念没有进行总结归纳，没有完整的定义，对所有的术文没作任何推导证明，这样个别公式就难免有不精确或失误之处。自东汉之后，就有许多学者研究过《九章算术》，但理论建树不大。刘徽著作的《九章算术注》，主要是给《九章算术》的术文作解释和逻辑证明，更正其中的个别错误公式，使后人知道是怎么回事的同时也能知道道理是怎么来的。有了刘徽完整的注释，才使得《九章算术》成为一部完美的古代数学教科书。
在《九章算术注》中，刘徽发展了中国古代“出入相补”原理和“率”的思想。用“出入相补”原理证明了勾股定理以及一些求体积和求面积公式，用“率”统一证明《九章算术》的大部分算法和大多数题目。
二、创立割圆术
刘徽的割圆术思想是现代人经常引用的伟大成果之一。这是他首创的一种运用极限思想证明圆面积公式的方法。他创立了割圆术，是为了证明圆面积公式和计算圆周率。在刘徽之前数学家们曾试图证明它，但都未成功，证明都不严密。而刘徽提出的基于极限思想的割圆术，严谨地证明了圆面积公式。他还用举一反三地利用无穷小分割的思想证明了一些锥体体积公式。在计算圆周率的时候，刘徽应用精确的割圆术，从圆内接正六边形出发，依次计算出圆内接正12边形、正24边形、正48边形，直到圆内接正192边形的面积，“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”然后使用现在被叫作的“外推法”，得到了圆周率的近似值3.14，纠正了前人所说的“周三径一”的观点。正是他提出的计算圆周率的方法，使后来的祖冲之能够进一步将圆周率可靠数字推进到7位之多。“外推法”是现代近似计算技术的一个重要方法，刘徽发现“外推法”要比西方遥遥领先数百年。历史证明，刘徽的割圆术是求圆周率的正确方法，也是很精确的方法，它直接决定了中国圆周率计算长期在世界上领先的局面。为了更好地研究开平方，刘徽提出了求“微数”的观点，这与现今无理根的十进小数近似值的观点完全相同。求微数十分有效地保证了计算圆周率的精确性。同时，刘徽的微数也开创了世界十进小数的先河。
正在思考的刘徽
这种将极限思想与无穷小分割方法引入数学证明，以现代的观点看，是刘徽在数学领域最杰出的贡献。除了用极限思想严格证明《九章算术》提出的圆面积公式外，他还提出并用极限方法证明了一个与体积有关的重要原理，被人们称为刘徽原理。可以说，刘徽的极限思想的深度已经超过了古希腊的同类思想。
三、提出了解决球体公式的设想
刘徽还有另一项著名成果，他提出了解决球体积公式的正确方法。但他自己到死的时候也未能完全解决这一问题。他曾言“以俟能言者”，充分显示了一位伟大学者寄希望于后来者的坦荡胸怀。直到200年后，祖冲之父子在刘徽研究的基础上，提出“幂势既同则积不容异”的祖植原理，才得出了正确的球体积公式。祖冲之父子也是我国历史上重要的数学家。他们的重要著作《缀术》一书由于内容过于深奥而失传。他们的数学贡献可以流传至今的至少有两项：一是关于球体积公式；一是关于圆周率的研究。而这两项成果都是建立在前人刘徽的研究基础之上的。由此可见，刘徽对后世数学的巨大影响。
四、刘徽的影响
事实上，刘徽的数学成果远远不止这么多。在线性方程组解法中，刘徽创造了解线性方程组的方程新术与互乘相消法。在对负数、分数、无理数问题上他都提出了一些创新的好办法。除了这些具体的我们可以用肉眼看见的数学理论成果外，刘徽的重要贡献还体现在他的数学逻辑思维上。
他以严密的数学用语来阐述有关数学上的概念，他提出并定义了许多数学概念，让数学从日常生活中提升到了一个理论的高度。从而改变了自墨学衰微以来靠约定俗成确定数学概念以及涵义的不确切的作法。
刘徽提出了许多公认正确的判断作为证明的前提。他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，思维缜密，从而把《九章算术注》及他自己提出的新颖的解法、公式都建立在必然性的基础之上。对《九章算术》中的许多结论给出了非常合理的证明。通过“析理以辞、解体用图”，给概念加以定义，给判断和命题加上逻辑证明，并建立了它们之间的有效的有机联系。
总而言之，刘徽沿袭了我国古代的几何传统，在继承的基础上不断的推陈出新，最终形成了具有独特风格的几何体系。如果说《九章算术》本身建立了中国古代数学理论的大框架，那么刘徽《九章算术注》的出现，则标志着中国古代数学理论体系的完成。刘徽的数学之建树是在《九章算术》的数学框架基础上加以改进，注入了新鲜的血肉和灵魂，形成了一个以计算为主要方法，以演绎推理为主要逻辑思维的理论系统。因而，刘徽是我国古典数学理论的奠基者之一。当代中国著名的数学家吴文俊先生说：“从对数学贡献的角度来衡量，刘徽应该与欧几里德、阿基米德等相提并论。”
