收益率计算及其相关统计量指标
1）收益可分为绝对收益和相对收益
绝对收益是指在没有红利支付的情况下，期末价格减去期初价格的价差。由于绝对收益不便于相互比较，所以很少用到这个概念。相对收益是单位化的投资收益，一般包括百分比收益率和对数收益率。由于证券市场涉及到股票价格和数量的行为是多种多样的，譬如送股、配股、发放股利等经济行为，因此，必须根据不同的情况对收益率计算公式进行处理。
百分比收益率是未来资产价格增量除以本期价格的比率。对应的多期平均收益率是一种几何平均方法。百分比收益率虽然直观，易于计算，但在金融模型应用中存在一些缺憾：首先，百分比收益率很难满足正态分布假设。在有限责任之下，投资者的损失最多限于自己投入的资金，这样，收益率的变化范围就是-1到+∞。这与正态分布是不一致的。其次，即使单期收益服从正态分布，多期收益也不服从正态分布。因为多期收益与单期收益的乘积紧密相关。但正态变量乘积却不服从正态分布。
对数收益率又称为连续复合收益率，是资产总收益的自然对数。此时，多期的连续复合收益是一种算术平均方法。当收益率比较小时，上述两种方法计算结果差别不大。
使用连续复合收益率有几个优势：首先，即便是在有限原则之下，对数收益率的理论值也是在+∞到-∞之间。这是因为对数函数在自变量接近于零时，结果会趋近于-∞。其次，多期收益的算术平均形式计算简洁，而且正态分布加总仍然为正态分布，便于数学模型的应用。同样原因，算术形式的时间序列推导要比乘积形式的推导简单得多。最后，采用连续复合收益率还有其他原因，它可以避免所谓的“希戈尔悖论”。
采用连续复合收益率也有不利的一方面。对于证券组合而言，如果采用百分比收益率，组合收益率就是单只证券收益率的加权平均，权重是该证券在组合中所占的比重。但这个性质对连续复合收益率却是不适用的，因为对数的和并不是和的对数。在实际应用中，对这个问题往往忽略不计。因为计算短期内的收益率的时候，组合的连续复合收益率与单只证券的连续复合收益率的加权平均值几乎相等。例如，J。P。摩根银行的RiskMetrics方法就假定组合收益率是单只证券连续复合收益率的加权平均值。
2）收益率最重要的特征就是它的随机性和不确定性
我们在当前并不了解下一期股票收益具体为何，如何对这种不确定性进行显式模型构建，是金融经济学的一个主要问题。这也是金融经济学区别于其他社会科学的主要特征之一。概率分布是描述不确定性的基本工具，因而也是处理资产收益常用的工具之一。常用资产收益的分布有联合分布、条件分布以及无条件分布。
这里，是一个状态变量向量，也就是概括了那些能够决定资产收益的所有经济环境。是一固定参数向量，它唯一决定了联合分布的形式。我们可以认为，金融经济计量学的核心任务就是，在既定的资产收益随机行为和状态变量的所有可获得信息，以及实现值之下，对参数向量进行统计推断。
可以看出，如果资产收益之间关于时间是独立的，就不能用资产的过去收益预测资产的未来收益；否则，就说明条件分布对资产的收益有一定的预测功能，也就是说，资产收益对不同时期的依赖程度隐含在其条件分布之中。资产收益率的可预测性也就可以归结为它们的条件分布问题，特别是它们的条件分布如何随时间变化问题。如果对条件分布做出某些进一步的限制，我们就可以估计唯一决定公式的隐含参数。从而实现资产收益的预测。例如，如果我们假设资产收益的条件分布等于其边际分布，即，就可以得到一种随机游走假设情况。此时，收益率关于时间就是独立的，且无法根据过去值来预测未来值。
如果资产收益的条件分布和它的边际分布或者无条件分布是不一样的，那么，根据条件分布就可以在一定程度上对资产收益进行预测。但是，如果我们希望收益率预测程度很小，或者根本不可能预测，这个时候，无条件分布就会起到很大作用。另一方面，无条件分布的处理比条件分布的处理要来的简单得多。所以，在金融数据处理中，无条件分布是经常应用的一类分布函数。资产收益率最常用的一个模型假设就是关于时间的独立同分布（IID）正态分布模型。也就是说，收益率关于时间是独立的（尽管它可以是截面相关的），随时间推移分布是相同的，且分布是正态的。这个假设对我们的数据统计处理是非常有用的。但是，简单的资产价格并不服从上述假设。有关原因在前面关于收益率的论述中已经交代。
3）分布的几个统计指标
收益率分布对研究者来说是未知的，因此，只能从样本数据中推断总体分布。这就要依靠估计量来进行。一个估计就是对总体分布未知参数的一个推断准则或法则，得到的一个估计值就称为估计量。而估计的前提是统计量，就是对样本数据的一种运算。常用的统计量包括样本均值、样本方差、样本偏度、样本峰度等。
在数据选取上，我们选取综合指数，分别以上海股票市场的上证综指和深证综指为主要研究对象。
股票指数即股票价格指数，是由证券交易所或金融服务机构编制的表明股票行市变动的一种供参考的指示数字。我国目前存在多种价格指数，既有证券交易所编制的，也有新闻媒体、研究机构或证券公司编制的。作为一种综合指数，它以股票全部股本为基础计算，而成分指数仅以股票流通股本为基础计算。上证综合指数的样本是全部上市股票，包括A股和B股，从总体上反映了上海证券交易所上市股票价格的变动情况，自1991年7月15日起正式发布。我们采取上海股票市场的上证综指和深圳股票市场的深证综指为研究对象。
在时间结点的选取上，充分考虑了证券交易制度变化的影响。在1995年1月1日之前，我国股票交易实行的是T+0交收制度，也就是说买进的股票可以在当天卖出。在这一交收制度下，买卖十分活跃，交易量大并且在时间序列上分布较为均衡，相应地，国家的印花税收入和证券公司的收入也高。但这一交收制度也加剧了市场震荡，具有潜在的助涨助跌作用，使得股票市场整体风险增加，投机现象严重。
第二阶段从1995年1月1日到1996年12月15日。这一时期实行T+1的交收制度，但无涨跌停板的限制。在T+0交收制度下，交易量相对萎缩，投资者表现得更为谨慎，一般在尾市才进场买入，使交易量在尾市时放大，而其他交易时间成交量则相对较小，在时间序列上呈不均衡分布，但它缓和了T+0交收制度下过度投机助涨助跌的弊病。
第三阶段从1996年12月16日开始到现在。这段时间实行涨跌停板限价交易制度，即规定每个交易日的涨跌幅度控制在10%以内。这一时期我国证券市场的法制建设日趋完善，特别是1998年12月29日《中华人民共和国证券法》的颁布实施，标志着我国证券市场走向了有法可依的新天地。中国证监会等监管部门加强执法工作，投资者也不断走向理性。
为了保持股价的连续性和可比性，我们对派送股息、红利以及增资配股等都做了除权除息处理。我们的研究区间是1996年12月16日到2005年4月29日，也就是实行T+1交收制度且实行涨跌限制制度的时间区间。日收益率共有2017个观测值，周收益率共有416个观测值，月收益率共有101个观测值。所有的数据资料都来自于中国股票市场交易数据库查询系统——CSMAR中国证券市场交易数据库和Wind中国金融数据库。
股票价格指数分析
股票价格指数反映了股票市场的价格水平。给出了上证综指在研究区间的图形，上证综指运动的基本特性。可以看出，从1996年开始，上证综指经历了一个先不断攀升、再连续下降的过程。在研究区间中，上证综指最高点为2242.42，在2001年6月13日取得。2001年6月13日，国务院发布了《减持国有股筹集社会保障资金管理暂行办法》，其第五条明确规定，国有股减持主要采取国有股存量发行的方式。凡国家拥有股份的股份有限公司（包括境外上市的公司）向公共投资者首次发行和增发股票时，均应按融资额的10%出售国有股。国有股存量出售的收入，全部上缴全国社会保障基金。此后，中国股市就进入了一个长期的下跌行情。最低点为865.58，在1996年12月24日取得。
价格指数收益率的统计特征
相关实证研究表明，价格指数收益率一般不服从正态分布，而是呈现尖峰、厚尾的特征。本部分先对上证综指和深证综指日、周、月收益率的统计特征进行实证检验。收益率采取的是对数收益率形式。
（1）对上证指数和深证综指收益率来说，随着取样间隔区间的增大，也就是由日收益率，到周收益率、月收益率的变化，一般来说，均值、最大值、最小值和标准差的绝对值都会变大。这是因为，随着取样间隔区间的增加，价格指数变化的幅度也会越来越大，收益率就有可能波动加大，最大值和最小值的绝对值就会增加，标准差也会变大。
（2）就两类价格指数的收益率序列均值来说，这些数值非常接近于零。这从侧面印证了我国股票市场的部分有效性。或者说在股票市场上，买进持有策略是有效的，而考虑了交易费用之后的低买高卖策略是不会盈利的。
（3）就上证指数和深证综指收益率而言，随收益率计算区间的变化，偏度统计量不存在明显模式。对上述两种价格指数的日收益率检验表明，偏度统计量小于零，这表明分布是左偏的。对月收益率检验表明，偏度统计量大于零，这表明分布是右偏的。但是收益率计算区间介于两者之间，也就是对周收益率来说，偏度统计量小于零，表明分布是左偏的。但是，当我们分别去掉两个周收益率序列中的一个异常值之后，偏度统计量就大于零，也就是说分布是右偏的。尽管没有经过严格论证，似乎可以说，考虑去掉极少数的异常值之后，随着收益率计算区间的增加，收益率近似表现为右偏的。
（4）峰度统计量的统计结果表明，所有两类价格指数收益率的峰度统计量都大于3.这表明与正态分布相比价格指数收益率的分布都是尖峰的。
从价格指数收益率分布的数字特征可看出，价格指数收益率序列一般具有厚尾和高尖峰——超额峰度特征，而且通常具有一定的偏度。在研究了价格指数收益率分布的数字特征之后，可以通过研究价格指数收益率的分布图形来进一步揭示价格指数收益率分布的性质。我们给出了上证指数常见的序列分布图形。
累积经验分布函数指的是序列中的观测值不超过某个特定值的概率，也就是Fx（r）=P（x≤r）。和该函数相对应的是生存函数。生存函数一般指的是序列的经验生存函数，它度量了到某时点为止事件仍未发生的概率分布，也就是给出了序列观测值达到某个特定值的概率。生存函数等于1减去CDF。
序列分布的核密度估计图是估计分布的一种非参数方法。一个最简单的非参数密度函数估计就是柱状图，但柱状图是不连续的，并且对原点选择非常敏感。核密度函数估计将柱状图中的长条用平滑的凸起来代替。平滑方法是通过对远离估计点的观测值赋以更小的权重进行的。显示的经验密度估计是一个用正态核计算得到的柱状图均滑函数，附加其中的虚线图形是一个均值方差都与样本均值方差估计相同的正态分布。其中，横轴表示收益率，纵轴表示百分比。
百分数图给出了一个序列的经验百分数图。它是CDF的反函数，从图形上来说，百分数图可以通过将CDF的横轴和纵轴进行翻转得到。百分数-百分数图是简单但是非常有用的工具，通过它可以对两个分布进行比较。该视图将选定序列的百分数图和另外一个序列的理论分布百分数图合并在一起进行比较。给出了累积经验分布对累积参考正态分布的曲线，其中，虚线表示一个均值方差都与样本均值方差估计相同的正态分布函数生成的时间序列的Q-Q。纵轴表示正态分布分位数，横轴表示收益率。
上证指数收益率和正态分布存在显着区别：它们具有更高的尖峰、厚尾，还稍稍有些偏度。
下面我们用其他统计量来检验三类上证指数收益率是否服从正态分布。对于日收益率来说，所有的统计量检验结果表明，上证指数和深证综指收益率都不服从正态分布，因为括号中的P值为零，但其估计的均值是不显着异于零的。同理，各种统计量及其伴随的P值表明，上证指数和深证综指周收益率都不是服从正态分布的，且其估计的均值是不显着的。就月收益率而言，在5%的显着性水平上，所有的正态统计量都不能拒绝上证指数收益率服从正态分布的原假设。但就深证综指月收益率来说，在5%的显着性水平上，除了Lilliefors（D）统计量之外，所有的正态统计量都不能拒绝上证指数收益率服从正态分布的原假设。根据上述分析，我们可以得出结论，从日收益率到周收益率、月收益率，收益率序列越来越接近于正态分布。
为什么股票市场收益率序列的分布会呈现尖峰厚尾的特征呢？从国外的研究来看，一种解释认为，股票市场上信息的出现和到达方式并不是平稳连续的，而是偶发的、以成堆方式出现的。信息聚集出现的特征使得市场对这种信息出现反应，导致价格的聚集变化，从而使收益率分布出现尖峰厚尾的特征。另一种解释认为，当市场出现新消息时，投资者往往最初会忽略信息价值。当新信息不断累积并到达超越临界值以后，投资者才会对以前所忽略的所有信息做出反应。这种非线性或滞后的反应方式会导致投资者的羊群行为，从而形成价格集中变化，导致收益率中的尖峰厚尾现象。
这里值得指出的是，尽管用很多统计量对指数收益率的正态分布特征进行了检验，但是，由于这些统计量的定义不一样，检验的侧重点也有所不同。所以，得出的结论也不完全一致。在对待这些检验结果的时候，也未必一定存在着一种非此即彼的确定关系。如果从这些检验之中找寻到某些规律，探查到数据中存在的某些问题，有助于加强我们对客观事物的认识和把握，就是非常有意义的。
日历效应检验
日历效应来自于人们的“奇异现象”。比较着名的奇异现象有：（1）“周内效应”，即周内某一日的收益率明显比一周中其他日低；（2）“月份效应”，即1月股票的收益率显着高于其他月份；（3）“盈利公告效应”，即股票价格在盈利公告之后受其内容影响，在较长时期内持续走高或走低；（4）“规模效应”，即小市值股票的收益显着高于大市值股票。此外还包括市盈率（P/E）效应、市净率效应等，这些都被称为市场异常现象，因为它们的存在使投资者可以凭借过去信息，通过特定投资策略获取超过市场平均水平的超常收益，从而有悖于有效市场假说（EMH）。这些奇异现象的发现，不仅在学术上对有效市场假说和金融理论贡献良多，而且对股票市场的投资观念的建立和投资策略的设计有重要的现实意义。实证研究证明，周内效应在世界发达国家普遍存在，但是对其原因目前还没有圆满的解释。
1）周内效应
从国外研究来看，周内效应也称为周末效应，分为两大子效应：一是“周末收益率效应”，即股票收益率在周末的异常变化；二是“周末波动性效应”，即股票收益率波动性在周末的异常变化。周末效应研究始于“周末收益率效应”的研究。1973年，克劳斯（Cross）发现美国股票市场周一平均收益率为负，周五为正，且两者存在显着的统计差异，其后该现象在世界很多股票市场检验中获得了确认。随后Haris（1986）等证明周末效应在几乎所有的发达国家证券市场都存在；Fortune（1998）最新研究又提出在美国市场周末收益率似乎已趋于消失。国外对“周末波动性效应”的研究结论认为股票周末收益率波动（用收益率的标准差表示）大于周内收益率的波动。如French和Roll（1986）发现纽约证交所（NYSE）和美国证交所（AMEX）所有上市公司股票的周末收益率标准差都小于周内收益率标准差；Fortune研究也证明，虽然“周末收益率效应”在美国已经逐渐消失，但“周末波动性效应”仍然存在。西方学者提出了很多假说来解释周末效应现象。这些假说包括错误定价、股价发放模式、交易与清算的间隔等。也有学者认为一周内的某些特定日期，尤其是在星期一，市场具有更高的风险；还有学者将其归因于个体的行为方式，如公司倾向于在周末股市关闭时发布利空消息，从而导致周一股价下跌等，但目前尚没有一个普遍认同的合理解释。
这里，Rt表示被检验收益率序列，因为这些收益率序列都是平稳的，所以，可以直接用来检验。Dit表示星期i的虚拟变量，如果是该周i的收益率，取值为1；否则，取值为0.一共有5个虚拟变量，因此，回归方程中不存在截距项。检验的原假设是Dit=0.
表3-3给出了对上证综指的检验结果。对于5个虚拟变量来说，只有星期三的收益率在10%的显着性水平上，是显着异于零的。其他虚拟变量都是不显着的。这表明，在上海股票市场上，对上证综指日收益率平均来说，在周三的收益率较高，而在每周的其他时间中，收益率是不显着的。从信息角度讲，一周中信息的发放时间和投资者对信息的反应可能也与收益率的周内变化有关。有人对此进行了研究，发现证监会的信息发布多选择在星期二下午，若果真如此的话，我们的发现就不难从信息的角度理解了。为什么在上海股票市场的综合指数日收益率中在周三存在异常效应，而在深圳股票市场的综合指数日收益率中并不存在。鉴于两地市场的交易制度和上市公司构成基本相似，一个可能的原因在于两地综合指数的构成存在差异。另外一个可能的原因，深圳濒临香港，吸引了更富于交易经验和交易技术的专业交易员，他们参与深圳股票市场交易导致了深圳股票市场没有出现所谓的周末效应。
2）月份效应
西方学者在一项对在NYSE（纽约证券交易所）挂牌的股票的月回报率研究中发现了明显的季节性规律。研究结果表明，在NYSE挂牌的股票1月的平均回报率高于其他任何月份的平均回报率。在许多其他国家，如加拿大、意大利、荷兰、比利时、日本、新加坡等，股市1月的收益率要远远高于其他月份，尤其是小市值的股份更为甚。譬如，美国的股票市场中1月的平均月收益率是3.5%，而其他月份则只有0.5%。在1959-1979年期间，东京股票交易所1月的平均回报率比其余11个月的平均回报率要高出约3.3%。这种奇异现象就是“1月效应”。对于“1月效应”的解释，一般认为人们会在年底抛售下跌的股票，抵消当年其他股票的资本增值，以达到少缴税收的目的。而年关过后，人们又重新买回这些股票。这种集体买卖行为导致了年终股市的下跌，而次年1月股市的上扬。
我们采用虚拟变量法对月份效应进行了检验。
由此可见，沪深股市的月份效应是非常杂乱的，和西方成熟股市的月份效应截然不同。这可能是因为：一是我国股市历史较短，而一种持续模式的显现是需要一定时间的；二是作为一个新兴市场，我国股市受政策影响出现暴涨、暴跌的可能性比较大，这些由政策引起的暴涨、暴跌就掩盖了股市变动的某些规律。这些都有待进一步研究。
