在上述问题中，可以把院子看作缺少两个同色方格的一个6X7矩阵。显然，如果缺少的两个方格同色，20个多米诺骨牌无法覆盖其余的40个方格。一个有趣的并与此有关的问题是：如果缺少两个颜色不同的方格，20个多米诺骨牌是否能够覆盖住那缺格的6X7矩阵？虽然奇偶校验没有证明其不可能性，但着并不意味着一定可以覆盖。通过擦去一对异色的方格，可以生成所有可能的图形。但若逐一加以研究则不胜其烦，因为各种可能的情况太多，以至于无法分析。对于所有的情况来说，是否有一种简单的可能性证明？
有的，此证明既简单又巧妙，为拉尔夫？戈莫里妙手偶得之，他同样也是利用了奇偶原理。假设此6X7矩阵有一条波及整个内部的闭合回路，宽度为一格。假设把闭合回路上任何两个异色方格擦去，于是该闭合回路就一断为二，每一部分都是由格数成偶数的异色方格组成。显然，这两部分的路总是能够用多米诺骨牌覆盖，你也许愿意尝试一下，把这个巧妙的证明应用于尺寸，形状与此不同的矩阵，也可以考虑擦去不止两个方格的情况。
铺砌理论作为组合几何中的一个范围广泛的领域，越来越受到人们的注目，要铺砌的平面可以是任何形状，“有限的或无限的”，瓷砖也可以形形色色，而且问题可能会涉及不同形状的集合，而并非要求单一模式。不可能性证明还经常涉及以某种规定的方式，用两种或两种以上的颜色为某一平面着色。
与多米诺骨牌相似的三维物体是砖块，其单位尺寸为1X2X4。用这种砖块“堆”成一个4X4X4的箱体并不困难，但是用这种砖块可否堆成一个6X6X6的箱体？这个问题完全可以应用布朗先生铺砌院子的问题的解法。设想把该立方体分成27个小立方体，每个为2X2X2。把这些阶为2的立方体交替涂上黑白两种颜色，好似一个三维的国际象棋棋盘。如果你把每种颜色的单位立方体的个数数一下，就会发现，一种颜色的立方体比另一种颜色的多八个。
在那大立方体中，无论怎样放置砖块，不多不少总是恰恰“盖住”相同的数目的黑色和白色的单位立方体，但一种颜色的单位立方体比另一种颜色的多八个，最初的26块砖无论怎样放置，总会剩下同样颜色的八个单位立方体。因此无法安置第27块砖，如果不厌其烦地探讨所有可能的堆砌方式，以求证明这一点，这样做显然极其费事。
堆砌理论仅是三维空间堆砌理论的一部分，关于空间堆砌问题，各种资料文献正日趋增多，它们提出了大量悬而未决，引人入胜的问题，有许多问题的解法可应用于商品的纸箱包装和堆仓等等。
奇偶性在粒子物理学方面也起着很重要的作用，1957年，两名中国血统的美国物理学家因为他们在推翻着名的“宇称守恒定律”方面的贡献而获得诺贝尔奖金。但由于这一题目专业性太强，故此不做详述。但可以举一个有趣的硬币戏法的例子来说明奇偶性守恒的一种方式。
往桌子上抛一把硬币，数一下正面朝上的有多少，若是偶数，则称正面朝上的硬币具有偶数性；若是奇数，则称其具有奇数性。现在把一对硬币翻身，再翻第二对，第三对，任你翻转多少对。你将惊奇地发现，无论翻转多少对，正面朝上的硬币的奇偶性始终不变。如果原来是奇数性，那么还是保持奇数性；如果原先是偶数性，则始终保持偶数性。
利用这一点可以耍一个巧妙的魔术，你背过身去，请人随心所欲地把硬币一对一对地翻转，再请他用手盖住其中任何一枚。然后，你回过身来，瞧一瞧硬币，即可正确地说出他手掌下的硬币是正面朝上还是反面朝上。秘诀是开始时数一下正面朝上的硬币有多少，记住是奇数还是偶数。由于一对一对地将硬币翻转并不会影响其原来的奇偶性，所以你只要在最后再把正面朝上的硬币数一下，就可确定被盖住的那枚硬币是正面朝上还是反面朝上了。
还有一个变相的问题：请他用手盖住两枚硬币，你再说出盖住的那一对硬币其朝上一面是否相同。许多心算扑克牌花样的巧妙魔术都是利用奇偶校验来设计的。
128.炙肉片的策略
约翰逊先生在户外有个炙肉架，正好能容纳2片炙肉，他的妻子和女儿贝特西都饥肠辘辘，急不可耐，问怎样才能在最短时间内炙完三片肉？
约翰逊先生：“瞧，炙一片肉的两面需要20分钟，因为每一面需要10分钟。我可以同时炙两，所以花20分钟就可以炙完两片。再花20分钟炙第三片，全部炙完需要40分钟。”
贝特西：“你可以更快些，爸爸。我刚算出你可以节省10分钟。”
啊哈！贝特西小姐想出了什么妙主意？
为了说明贝特西的解法，设肉片为A，B，C。每片肉的两面记为1，2。第一个10分钟炙烤A1，和B1，把B肉片先放到一边。再花10分钟炙烤A2和C1。此时肉片A可以炙完再花10分钟炙烤B2和C2，仅花30分钟就炙完了三片肉，对吗？
这个简单的组合问题，属于现代数学中称之为运筹学的分枝。这门学科奇妙地向我们揭示了一个事实：如果有一系列操作，并希望再最短时间内完成，统筹安排这些操作的最佳方法并非马上就能一眼看出。初看是最佳的方法，实际上大有改进的余地，在上述问题中，关键在于炙完肉片的第一面后并不一定马上去炙其反面。
提出诸如此类的简单问题，可以采用多种方式。例如，你可以改变炙肉架所能容纳肉片的数目，或改变待炙肉片的数目，或两者都加以改变。另一种生成问题的方式是考虑物体不止有两个面，并且需要以某种方式把所有的面都予以“完成”。例如，某人接到一个任务，把n个立方体的每一面都涂抹上红色油漆，但每个步骤只能够做到把k个立方体的顶面涂色。
今天，运筹学用于解决事物处理，工业，军事战略等等许多领域的实际问题。即使是像炙肉片这样简单的问题也是有意义的。为了说明这一点，请考虑下列一些变相问题：
琼斯先生和夫人有三件家务事要办。
1．用真空吸尘器清洁一层楼，只有一个真空吸尘器，需要时间30分钟。
2．用割草机修整草地，只用一台割草机，需要时间30分钟。
3．喂婴儿入睡，需要时间30分钟。
他们应该怎样安排这些家务，以求在最短时间内全部完成呢？你看出这个问题与炙肉片问题是同构的吗？假设琼斯先生和夫人同时进行操作，一般人开始往往以为做完这些家务需要60分钟，但是如果一件家务分为两个阶段，第二阶段延后进行，那么三件家务可以在3/4的时间内即45分钟内完成。
下面有一个关于准备三片热涂奶油的烤面包问题，这个运筹学问题比较困难，烤面包架是老式的，两边各有一扇翼门，可以同时容纳两片面包，但是只能单面烘烤。如果要烤双面，需要打开翼门，把面包片翻过身来。
将一片面包放入烤面包架需要时间3秒钟，取出来也需要3秒钟，将面包片在烤面包架内翻身又需要3秒钟。这些都需要双手操作，即不能同时进行放，取或把两片面包同时翻身，也不能在放入一片面包，将其翻身或取出的同时把另一片涂抹上奶油。单面烘烤一片面包需要30秒钟，把一片面包涂抹上奶油需要12秒钟。
每片面包仅限于单面涂抹上奶油，未经烘烤不得事先在任何一面涂抹上奶油，单面已经烤过的和涂抹上奶油的面包片可以重新放入烤面包加内继续烘烤其另一面，如果烤面包架一开始就是热的，试问双面烘烤三片面包丙涂抹上奶油最少需要多少时间？
在两分钟内完成上述工作并不太难，然而，如果你领悟到：一片面包在单面烘烤尚未结束的情况下，也可以取出，以后再放回烤面包架内继续烘烤这一面，那么全部烘烤时间就可以缩减至111秒钟。使你想到这一点，统筹安排这些操作使效率达到最高也远非是一件易事。在这方面，尚有无数比此更为复杂的实际问题，需要借助于与计算机和现代图论有关的高度复杂的数学手段。
129.菜价中的数学问题
凡是需要付现金的地方，都有可能需要找零钱。在很多次找零钱的机会里，总有可能出些差错。所以，无论是人家找钱给自己，还是自己找钱给人家，都需要验算，看看找的数目对不对。
在农贸市场里，一位妇女经过几轮讨价还价，把每斤（1斤=500克）青菜的价钱从8角压低到6角。买3斤，拿出一张5元的人民币。卖菜人接过后，从一叠零钱里抽出两张1元的和两张1角的，对她说：“这是一元钱、两元钱、两元一、两元二，找给你两元二角，数数看，对不对？”那位妇女接过钱来，再数一遍，不多不少，正好2元2角，说声“不错”，提起菜篮高高兴兴走了。
究竟错不错呢？
卖菜人嘴里说的是“找给你两块二角”，手里拿出来的也是两块二角，这两个数目完全一致，可以说是“不错”。
但是算一算账，到底应该找回多少钱呢？
每斤6角，买3斤应该付1元8角，拿出5元，应该找回的不是2元2角，而是3元2角：
5-0.6×3=5-1.8=3.2（元）。
可见零钱找错了，少找了1元。还价的战果全部丢下水，反而多花了钱。
也有个别时候，买东西的人应该付1元8角，拿出5元，卖东西的人找出来4元2角，多找了1元。
其实只要这样想；
1元8角，就是2元少2角。
如果是整数目2元，那么给5元，找回3元。
现在比2元少2角，找回的就要比3元多2角。
如果实际找出的是2元多，或者是4元多，肯定找得不对。
算账的时候，如果一下子就考虑得很细很细，有可能“抓住芝麻，丢掉西瓜”，因小失大。验算要先抓“西瓜”，算大账，看看得数的首位数字对不对。如果大数目对头，有时间再抓一抓“芝麻”，算算细账；实在没有时间就算了，小数目纵有误差，损失也微乎其微。
