选项D不对，由于他们的相位差为π/3-π/4=π/12，因此他们在振动时步调不一致。只有两个频率相同的振动，且相位差φ2-φ1=2π（n=0，±1，±2，……）时，他们的振动步调才会一致，这就是我们常说的同相；若φ2-φ1=（2n＋1）π，说明这两个振动正好相反，我们叫它反相。
例题2两个简谐运动分别是xin（2πkt＋π2），x2=2asin（2πkt＋3π2）．求它们的振幅之比，各自的频率，以及它们的相位差。
出题目的：巩固对简谐运动方程的基本理解。
解析：振幅之比A1A2=6a2a=3.它们的频率相同，都是f=ω2π=2πk2π=k.它们的相位差△φ=φ2-φ1=π，而振动为反相。
例题3一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8cm，频率为0.5Hz，在t＝0时，位移是4cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程x=Asin（△t＋φ）出题目的：掌握由简谐振动的各物理量，写出其振动方程的方法。
解析：简谐运动振动方程的一般表达式为：
x=Asin（△t＋φ）
根据题给条件有：
A＝0.08m，ω=2πf=π。
所以x=0.08sin（△t＋π）（m）将t＝0时x＝0.04m代入得0.04=0.08sinφ，解得初相φ=π6或φ=5π6因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ=5π6.
所求的振动方程为：
x=0.08sin（π＋56π）（m）例题4一物体沿x轴作简谐振动。振幅为12cm，周期为2s当t=0时，位移为6cm，且向x轴正方向运动。求：（1）初位相。
（2）t=0.5s时物体的位置，速度和加速度。
出题目的：理解简谐运动方程求解及在解题中的应用。
解析：由于题中已把振动的各参量给出了，只要建立振动方程，以上各问就不难通过数学方法得出。
解：（1）设这简谐振动的表达式为：
x=Acos（△t＋φ）
因为A=12cm，T=2s，ω=2πT=π-1，t=0时，x=-6cm代入上式得6=12cos（0＋φ）
解得cosφ=12，φ=±π3
因这时物体向x轴正方向运动，故应取φ=-π3
（2）由上述结果可得：
x=Acos（△t＋φ）=12cos（π-π3）cmv=-ωAsin（△t＋φ）=-12πsin（π-π3）m/sa=-ω2Acos（△t＋φ）=-12πcos（π-π3）cm/s2
在t=0.5s时，从上面各方程式可求得：x=12cos（π×0.5-π3）=12cosπ6=63cm=10.4cmv=-12πsin（π×0.5-π3）=-π6cm/s=-18.9cm/sa=-12π2cos（π×0.5-π3）=-6π23cm/s2=-103cm/s2
习题精选
1．有一个弹簧振子，振幅为0.8cm，周期为0.5s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是A．x=8×10-3sin（4π＋π2）mB．x=8×10-3sin（4π-π2）mC．x=8×10-1sin（4π-3π2）mD．x=8×10-1sin（π4t＋π2）m2．在光滑水平面内做简谐运动的弹簧振子，振动周期为T，振幅为A，设振子第一次从平衡位置沿正x方向运动到x=A2处所用的最短时间为t1，第一次从最大正位移x=A2处运动到处所用的最短时间为t2，则A．t1=t2B．t1<t2
C．t1<t2D．无法确定
3．对于两个摆长不同的单摆，它们做简谐运动是否有确定的相位差？
4．一简谐运动的振动方程x=Asinut（1）该运动的初相是多少？
（2）如用余弦函数表示振动方程，请写出这一振动方程，并指出初相是多少？
5．如图所示，实线和虚线分别表示两质点的振动图像，求第1个质点的振动与第2个质点的振动间的相位差。
【参考答案】
1．A
2．B
3．对两个摆长不同的单摆，振动周期不同，相应地圆频率ω=2πT也不同，相位差（ω2t＋φ2）-（ω1t＋φ1）=（ω2-ω1）t＋（φ2-φ1）随时间t变化，所以没有确定的相位差4．（1）0；（2）x=Acos（ωt-π2）或x=Acos（ωt＋32）π；初相为-π2或32π5．第1个振动比第2个振动在时间上超前T8，相应地在相位上超前，18×2π=π4，φ1-φ2=π4简谐运动的能量阻尼振动
【教学目标】
知识目标
1.知道振幅越大，振动的能量（总机械能）越大。
2.对单摆，应能根据机械能守恒定律进行定量计算。
3.对水平的弹簧振子，应能定量地说明弹性势能与动能的转化。
4.知道什么是阻尼振动和阻尼振动中能量转化的情况。
5.知道在什么情况下可以把实际发生的振动看作简谐运动。
能力目标
1.分析单摆和弹簧振子振动过程中能量的转化情况，提高学生分析和解决问题的能力。
2.通过阻尼振动的实例分析，提高处理实际问题的能力。
情感目标
1.简谐运动过程中能量的相互转化情况，对学生进行物质世界遵循对立统一规律观点的渗透。
2.振动有多种不同类型说明各种运动形式都是普遍性下的特殊性的具体体现。
【教学设计方案】
（一）课程导入
教师讲解引入：一个单摆，将其摆球拉到一定高度后释放，实际振动的单摆为什么会停下来，今天我们就来学习这个问题。
（二）教学过程
1.简谐运动的能量
（1）用多媒体模拟：
水平弹簧振子在外力作用下把它拉伸，松手后所做的简谐运动。
如下图甲、乙所示：
（2）试分析弹簧振子和单摆在振动中的能量转化情况，并填入表格。
表一：
振子的运动A→OO→A′A′→OO→A
能量的变化
动能增大减少增大减少
势能减少增大减少增大
总能不变不变不变不变
表二：
单摆的运动A→OO→A′A′→OO→A
能量的变化
动能增大减少增大减少
势能减少增大减少增大
总能不变不变不变不变
（3）学生讨论分析后，抽代表回答，并把结果填入表中。
（4）用实物投影仪出示思考题：
①弹簧振子或单摆在振幅位置时具有什么能？该能量是如何获得的？
②振子或单摆在平衡位置时具有什么能？该能量又是如何获得的？
③为什么在表格的总能量一栏填不变？
（5）学生讨论后得到：
①弹簧振子或单摆在振幅位置时具有弹性势能或重力势能，这些能量是由于外力对振子或摆球做功并使外界的能量转化为弹性势能或重力势能储存起来。
②在平衡位置时振子或摆球都具有动能，这个能量是由重力势能或弹性势能转化而来的。
（6）教师总结
在外力的作用下，使振子或摆球振动起来，外力对它们做的功越多，振子或摆球获得的势能也越大，同时振幅也越大；振子或单摆振动起来之后，由于是简谐运动，所以能量守恒，此后它的振幅将保持不变。
（7）用多媒体重新展示振子和弹簧的简谐振动：并让学生画出其运动的图像，抽查在实物投影仪上评析：上述图像中①是错误的，因为我们展示的振动都是从振幅处起振的，所以①不对；②③都是正确的，之所以不同是由于所选定的正方向不同而产生的。
2.阻尼振动
（1）过渡引言：上边我们研究了简谐运动中能量的转化，对简谐运动而言，一旦供给振动系统以一定的能量，使它开始振动，由于机械能守恒，它就以一定的振幅永不停息地振动下去，所以简谐运动是一种理想化的振动。下边我们来观察两个实际振动。
（2）演示：
①实际的单摆发生的振动。
②敲击音叉后音叉的振动。
（3）学生描述观察到的现象：
单摆和音叉的振幅越来越小，最后停下来。
（4）讨论并解释现象
在单摆和音叉的振动过程中，不可避免地要克服摩擦及其他阻力做功，系统的机械能就要损耗，振动的振幅就会逐渐减小，机械能耗尽之时，振动就会停下来了。
（5）要求学生画出上述单摆和音叉的运动图像，并在实物投影仪上展示：（6）教师总结并板书：①由于振动系统受到摩擦和其他阻力，即受到阻尼作用，系统的机械能随着时间而减少，同时振幅也逐渐减小，这样的振动叫阻尼振动。
②阻尼过大时，系统将不能发生振动；
阻尼越小，振幅减小得越慢。
（7）讲解：
①所谓“阻尼”是指消耗系统能量的因素，它主要分两类：一类是摩擦阻尼，例如单摆运动时的空气阻力等；另一类是辐射阻尼，例如音叉发声时，一部分机械能随声波辐射到周围空间，导致音叉振幅减小。
②如果外界不断给振动系统补充由于阻尼存在而导致的能量损耗，从而使振动的振幅不变，我们把这类振动叫无阻尼振动。
③无阻尼振动也是等幅振动。
（8）学生阅读课文，回答在什么情况下，阻尼振动可以作为简谐振动来处理？
学生答：当阻尼很小时，在一段不太长的时间内，看不出振幅有明显的减小，就可以把它作为简谐运动来处理。
（三）小结
通过本节课的学习，我们知道了：
1.振动物体都具有能量，能量的大小与振幅有关。振幅越大，振动的能量也越大。
2.对简谐运动而言，振动系统一旦获得一定的机械能，振动起来，这一个能量就始终保持不变，只发生动能与势能的相互转化。
3.振动系统由于受到外界阻尼作用，振动系统的能量逐渐减小，振幅逐渐减小，这种振动叫阻尼振动，实际的振动系统都是阻尼振动，简谐振动只是一种理想的模型。
（四）作业
课本P174练习六①③
典型例题
例1如图所示是单摆振动示意图，下面说法正确的是A．经平衡位置O摆球的动能和势能均达到最大值B．在最大位移处势能最大，而动能最小C．经平衡位置时悬线中拉力最大，摆球速度最大D．摆球由A到O的过程中，动能变大，势能变小出题目的：加深对简谐运动的能量知识点的掌握。
【解析】
单摆的振动是简谐运动，在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，摆球远离平衡位置时，动能减小，势能增大，到最高点时动能为零，势能最大，反之亦然。
小球在平衡位置只受重力和绳子拉力，由牛顿第二定律得F-mg=mv2r，在平衡位置时动能最大，所以悬线中的拉力也最大。
正确选项为BCD
例2做简谐运动的物体向平衡位置运动时，速度越来越大的原因是A．回复力对物体做正功，动能增加B．物体惯性的作用C．物体的加速度增加D．系统的势能转化为动能出题目的：理解简谐运动中能量的转化情况。
解析：做简谐运动的物体向平衡位置运动时，回复力减小，加速度减小，但回复力的方向与运动方向一致，回复力对物体做正功，使物体的势能向动能转化，动能增加，势能减小，而总能量保持不变。
正确选项为AD
可以讨论：做简谐运动的物体从最大位移处向平衡位置运动过程中，回复力做功的功率怎样变化？
例3如图所示，单摆做阻尼振动时的振动图线，下列说法正确的是A．摆球在A时刻的动能等于在B时刻的动能B．摆球在A时刻的势能等于在B时刻的势能C．摆球在A时刻的机械能等于在B时刻的机械能D．摆球在后一时刻的动能总比前一时刻的动能小出题目的：加深理解阻尼振动中势能与动能的变化情况。
解析：由于单摆在阻尼振动中，要不断地克服阻力做功，所以系统的机械能不断减少，即后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能，但后一时刻的动能可以大于前一时刻的动能，后一时刻的势能也可以大于前一时刻的势能。A、B两时刻由于单摆离开平衡位置的距离相同，所以势能相同，而总机械能在B时刻较小，所以在B时刻的动能比A时刻的动能小。
正确选项为B
习题精选（一）
1.关于弹簧振子做简谐运动时的能量，下列说法正确的有A.等于在平衡位置时振子的动能
B.等于在最大位移时弹簧的弹性势能
C.等于任意时刻振子动能与弹簧弹性势能之和D.位移越大振动能量也越大2.一个单摆，摆长为L，摆球质量为m，做简谐运动的振幅为A，其振动能量为E，在保证摆球做简谐运动的前提下，下列哪些情况会使E增大A.保持L、m不变，增大AB.保持L、A不变，增大mC.保持m、A不变，增大LD.保持m、A不变，减小L3.单摆小球质量为m，摆长为l，摆角为θ（θ＜5°），以平衡位置处重力势能为0，则此单摆的振幅为，振动能量为，摆球通过最低点时的速度为4.右图是单摆做简谐振动的振动图像，可以判定A.从t1到t2时间内摆球的动能增大，势能减小B.从t2到t3时间内振幅不断增大C.t3时刻摆球处于最低点处，动能最大
D.t1、t4时刻摆球的动能、动量都相同5.下列说法正确的有A.阻尼振动就是减幅振动
B.实际的振动系统不可避免地要受到阻尼作用C.阻尼振动的振幅逐渐减小，所以周期也逐渐减小D.阻尼过大时，系统将不能发生振动6.一只秒摆摆球质量为m=20g，做小角度摆动，第一次向右通过平衡位置时速度为v1＝13cm/s，第二次向右通过平衡位置时速度变为v2＝12cm/s，如果每次向右通过平衡位置时给它补充一次能量，使它达到v＝13cm/s，那么1小时内共应补充多少能量？
【参考答案】
