任意角的三角函数
【教学目标】
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（2）了解余切、正割、余割的定义；掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号；（3）掌握公式一，会运用它们把求任意角的正弦、余弦、正切函数值分别转化为求0°到360°的这三种三角函数值；（4）通过树立映射的观点，建立正确理解三角函数是以实数为自变量的函数的能力；（5）体会同一角的三角函数值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示在研究问题时，要能在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑。
【教学建议】
重点、难点分析
重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义及在各象限内的符号和定义域，诱导公式一；难点是用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值。
（1）定义中的六个比值yr，xr……，等，与点P（x，y）在终边上的位置无关，只与角的大小有关；它们都可以看作以角为自变量，以比值为函数值的函数，分别称为正弦函数，余弦函数等。
（2）三角函数在各象限内的符号，是根据三角函数的定义，终边上的点的坐标符号来确定的，十分重要，在今后的学习中经常用到。
（3）定义域也是根据三角函数的定义，要求其有意义，即分母不为0而得到角的取值范围。
（4）诱导公式（一）也是利用任意三角函数的定义，结合终边相同的角定义得出，即终边相同的角的同名三角函数值相等：f（k·360°＋α）=f（α）。
（5）三角函数线是表示一个角三角函数值的几何方法，它们的大小即长度等于α的三角函数值的符号。特别注意的是它们均有方向，即起点和终点，记法：当两个端点都在x轴上时，以原点为起点（余弦线），当两个端点有一个在轴上时，以轴上的点为起点（正弦线、余弦线），特别是正弦线和正切线在后面三角函数的图像中，用来作出正弦曲线和正切曲线，所以必须清楚其意义。
关于任意角的三角函数的教法建议
（1）由三角函数的定义可知，若已知角α终边上一点，便可求出其各三角函数值，或通过三角函数定义，可知其二求其一。
三角函数的符号与角所在象限有关，采用上图来记忆。
（2）必须讲清并强调yr，xr
，yx，xy，rx
，ry这六个比值的大小都与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。
（3）教学中应注意，语言要准确严密。首先“六种函数统称为三角函数”这句话，说明不是这六种函数的函数，都不能说是三角函数。
（4）教学中，应当引导学生深刻认识三角函数符号的含义。如，sina这个符号，它表示yr，即角a的正弦，不能把sina看成sin与a的乘积，犹如f（x）不能看成f与（x）的乘积一样，离开了自变量a，符号sin就没有意义了。同时也应注意，每个函数记号的第一个字母“S”或“C”或“t”都不能大写，不能让学生养成写“Sina”、“Cosa”等习惯。
【教学设计示例】
任意角的三角函数
教学目标
1通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值。
2掌握已知角a终边上一点坐标，求四个三角函数值。（即给角求值问题）
教学重点
任意角的三角函数的定义。
教学难点
任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示。
教学用具
直尺、圆规、投影仪。
教学步骤
设置情境
角的范围已经推广，那么对任一角a是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？本节课就来讨论这一问题。
探索研究
（1）复习回忆锐角三角函数
我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角a为自变量，以比值为函数值，定义了角a的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角a是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示。
（2）任意角的三角函数定义
如图1，设a是任意角，a的终边上任意一点P的坐标是（x，y）当角a在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为r，则r=|x|2＋|y|2=x2＋y2＞0。
定义：①比值yr叫做a的正弦，记作sina，即sina=yr。
②比值xr叫做a的余弦，记作cosa，即cosa=xr。
图1
③比值yx叫做a的正切，记作tana，即tana=yx。
同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件提问：对于确定的角a，这三个比值的大小和P点在角a的终边上的位置是否有关呢？
利用三角形相似的知识，可以得出对于角a，这三个比值的大小与P点在角a的终边上的位置无关，只与角a的大小有关。
请同学们观察当a=π2＋kπ（k∈Z）时，a的终边在y轴上，此时终边上任一点P的横坐标x都等于0，所以tana=yx无意义，除此之外，对于确定的角a，上面三个比值都是惟一确定的。把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义。
④比值xy叫做a的余切，记作ctga，则ctga=xy。
⑤比值rx叫做a的正割，记作seca，则seca=rx。
⑥比值ry叫做a的余割，记作csca，
则csca=ry。
图2
可以看出：当a=kπ（k∈Z）时，a的终边在x轴上，这时P的纵坐标y都等于0，所以ctga=xy与csca=ry的值不存在，当a=π2＋kπ（k∈Z）时，seca=rx的值不存在，除此之外，对于确定的角a，比值xy，rx，ry分别是一个确定的实数，所以我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数。
（3）三角函数是以实数为自变量的函数
对于确定的角a，如图2所示，sina，cosa，tana分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数。
即：实数→角（其弧度数等于这个实数）→三角函数值（实数）
（4）三角函数的一种几何表示
利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线，如下图3。
图3
设任意角a的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y）过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A（1，0）作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角a的终边（当a为第一、四象限时）或其反向延长线（当a为第二、三象限时）相交于T，当角a的终边不在坐标轴上时，我们把OM，MP都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段。由正弦、余弦、正切函数的定义有：sina=yr=y1=y=MPcosa=xr=x1=x=OM
tana=yx=MPOM=ATOA=AT这几条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT叫做角a的正弦线、余弦线、正切线。当角a的终边在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角a的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。
图4
（5）例题讲评
例1已知角a的终边经过P（-2，-3）求a的六个三角函数值（如图4）。
解：∵x=-2y=-3
∴r=（-2）2＋（-3）2=13
sina=yr=-313
=-31313
cosa=xr=-213=-21313
tana=yx=-3-2=32
ctga=xy=-2-3=23
seca=rx=13-2=-132
csca=ry=13-3=-133
提问：若将P（-2，-3）改为P（-2a，-3a）（a≠0）如何求a的六个三角函数值呢？（分a＞0，a＜0，两种情形讨论）
例2求下列各角的六个三角函数值
（1）π；（2）3π2；（3）2π。
