弧度制
【教学目标】
1.使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；3.掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题；4.在理解弧度制定义的基础上，领会弧度制定义的合理性；5.通过学习，理解并认识角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的。
【教学建议】
关于弧度制的知识结构
弧度制弧度与角度的换算方法简单应用
关于弧度制的重点、难点分析
重点是理解弧度的意义，能正确地进行角度制与弧度制的换算；难点是弧度制的概念与角度的关系。
（1）要弄清弧度的意义。弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难，首先必须清楚弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关。其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进制，而弧度制却是十进制，其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单：l=|a|·rS=12l·r=12|a|·r2
（2）两种制度的转换。利用它们的意义在弧度制下圆周角为2πrad，而角度制下圆周角为360°，所以2πrad＝360°，进而得到1°=π180rad≈0.01745rad。
1rad=180π°≈57.3°=57°18′关于弧度制的教法建议（1）建议教学用实例来讲述1弧度的含义，这样便于学生对概念的理解；（2）建议在教学时，通过弧度制与角度制对比来分析、说明应用弧度制的度量比应用角度制的度量方法是否具有优越性；（3）关于弧度与角度二者的换算，教学时应抓住：360°=2π弧度180°=π弧度这个关键，来引导学生；
（4）教学应注意强调在同一式中，所采用的单位必须一致；（5）通过例3的教学，应让学生知道，无论是利用角度制还是弧度制，都能在已知弧长和半径的情况下推出扇形面积公式，但利用弧度制来推导要简单中些。
【教学设计示例】
弧度制
教学目标
1明确引入弧度制的必要性，理解新单位制意义。
2熟练掌握角度制与弧度制的换算。
教学重点
理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化。
教学难点
弧度制定义的理解。
教学过程
设置情境
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难。那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位。
探索研究
（1）复习角度制
我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？
规定把周角的1360作为1度的角。
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
（2）弧度制定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧AB的长等于半径r，AB所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角，弧度制的单位符号是rad，读作弧度。
图1
∠AOB的弧度数=lr=rr=1.∠AOC的弧度数=lr=2rr=2
图2
提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？
因为半圆的弧长l=πr，其圆心角的弧度数是lr=πrr=π，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是lr=2πrr=2π。
在0°到360°的角的弧度数x=lr必然适合不等式0≤x＜2π，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数。如果圆心角表示一个负角，且它以所对的弧长l=4πr，则这个圆心角的弧度数是-lr=-4πrr=-4π，由此我们给出弧度制的定义：一般地，可以得到：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角a的弧度数的绝对值|a|=lr，其中l是以角a作为圆心角时所对的弧长，r是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。
提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？
如图2，设∠a为n°（n＞0）的角，圆弧MN和M1N1的长分别为l和l1，点M和M1到点O的距离（即圆半径）分别为r（r＞0）和r1（r1＞0），由初中学过的弧长公式可得：l=nπ180r，l1=nπ180r1，于是lr=l1r1=nπ180。上式表明，以角a为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由∠a的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关。
因|a|=lr，可以得到l=|a|r，那么弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积，这个公式比采用角度制时相应公式l=nπr180要简单。
（3）角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算。我们已经知道若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是2π，而在角度制里它是360°，因此360°=2πrad，两边除以2
∴180°=πrad等式两边同除以180
即1°=π180rad≈0.1745rad同理，把弧度换成角度。
2πrad=360°
πrad=180°
1rad=180π°≈57.30°=57°18′例1把67°30′化成弧度。
解：∵67°30′=-6712°
∴67°30′=π180rad×6712=38πrad例2把45πrad化成度。
解：45πrad=45×180°=144°同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住180°=π弧度这个关键。
下面请大家写出一些特殊角的弧度数。
角度0°30°60°120°135°270°弧度π4π25π6π2π按从左至右顺序其答案是：0、π6、45°、π3、90°、2π3、3π4、150°、180°、3π2、360°。今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“rad”通常省略不写，而只写相应的弧度数。例如：角a=3就表示a是3rad的角，cosπ6就表示π6rad的角的余弦，即cosπ6=cos30°=32
（4）角度制与弧度制的比较
引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比较，同学们应明确：①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而1°是圆的360°所对的圆心角（或该弧）的大小；③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值。
图3
