正切函数的图像和性质
【教学目标】
1.会用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；2.掌握正切函数图像的形状特征和性质，渗透数形结合的思想；3.通过利用几何法画正切函数图像，了解类比思想，通过练习掌握换元法的运用。
【教学建议】
知识结构
重点与难点分析
本节的重点是正切函数的图像形状及其主要性质（包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性）。正切函数常与其它知识综合运用，图像和性质是具体应用的基础，而函数的性质是由函数图形特征归纳总结的得到的，因此首先了解利用正切线画出函数图像及图像的特征，使图像和性质有效的结合。
本节的难点是利用正切线得到函数y=tanx，x∈（-π2，π2）的图像，直线x=±π2为函数图像的渐近线。选择（-π2，π2）作为基本图像段，学生理解有些困难，给学生说明这一段函数图像是连续的。理解渐近线涉及到极限的知识，学生不易理解，注意用形象的语言加以描述。渐近线x=±π2＋kπ，k∈Z各点由对应着函数在此处无定义，值域无最大值、最小值。充分利用图像和性质的有效结合来解决难点。
教法建议
1采用类比的思想让学生自主学习，由于学生已经掌握了正弦函数、余弦函数的图像和性质的概念及讨论方法，本节课可让学生回忆正弦函数图像和性质的研究手段和方法的基础上，自主探讨正切函数的图像作法以及性质的归纳，教师在这个过程适当的引入问题让学生解决，对于渐近线等难点问题给与指导和解释。
2函数图像特征和函数代数性质一一对应，教学中首先要充分利用图形讲清正切曲线的特征，在作图后让学生讨论图像的特征，然后再总结归纳函数的性质，使图像的特征和函数的代数性质有机的结合，例如函数图像的渐近线是x=±π2＋kπ，k∈Z，函数在各点处无定义，即定义域x｜x≠π2＋kπ，k∈Z，值域无最大值、最小值。
3在教学中适当通过与正切有关的综合习题，使学生熟悉函数的性质和图像。尤其是与其它知识综合时，通常采取换元法，但要注意正切本身自变量的条件限制，另外可以类比正弦函数的五点法作图，简化正切函数草图的做法，以便辅助解题。
【教学设计示例】
正切函数的图像和性质（第一课时）
教学具准备
直尺、投影仪。
教学目标
1会用“正切线”和“单移法”作函数y=tanx的简图。
2掌握正切函数的性质及其应用。
教学过程
设置情境
正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性，为了更好研究其性质，我们首先讨论y=tanx的作图。
探索研究
师：请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出y=sinx图像的。
生：在单位圆上取终边为α（弧度）的角，作出其正弦线O1B，设O1B=y，在直角坐标系下作点（α，O1B），则点（α，O1B）即为y=sinx图像上一点。
师：这位同学讲得非常好，本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制y=tanx图像。
（1）用正切线作正切函数图像
师：首先我们分析一下正切函数y=tanx是否为周期函数？
生：∵f（x＋π）=tan（x＋π）=sin（x＋π）cos（x＋π）=-sinx-cosx=tanx=f（x）
∴y=tanx是周期函数，π是它的一个周期。
师：对，我们还可以证明，π是它的最小正周期。类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图像，下面我们利用正切线画出函数y=tanx，x∈-π2，π2的图像。
作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴左侧作单位圆。
图1
②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线。
③找横坐标（把x轴上-π2到π2这一段分成8等份）。
④找纵坐标，正切线平移。
⑤连线。
根据正切函数的周期性，我们可以把上述图像向左、右扩展，得到正切函数y=tanx，x∈R且x≠π2＋kπ（k∈Z）的图像，并把它叫做正切曲线（如图1）。
（2）正切函数的性质
请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性。
①定义域：x｜x≠π2＋kπ，k∈Z
②值域
图2
由正切曲线可以看出，当x小于π2＋kπ（k∈Z）且无限亲近于π2＋kπ时，tan无限增大，即可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作tanx→＋∞（读作tanx趋向于正无穷大）；当x大于-π2＋kπ且无限接近于π2＋kπ，tanx无限减小，即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作tanx→-∞（读作tanx趋向于负无穷大）。这就是说，tanx可以取任何实数值，但没有最大值、最小值。
因此，正切函数的值域是实数集R。
③周期性
正切函数是周期函数，周期是π。
④奇偶性
∵tan（-x），-tanx∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O对称。
⑤单调性
由正切曲线图像可知：正切函数在开区间（-π2＋kπ，π2＋kπ），k∈Z内都是增函数。
（3）例题分析
例1求函数y=tanx＋π4的定义域。
解：令z=x＋π4，那么函数y=tanz的定义域是z｜z≠π2＋kπ，k∈Z由x＋π4=z=π2＋kπ，可得x=π2＋kπ-π4=π4＋kπ所以函数y=tanx＋π4的定义域是x｜x≠π4＋kπ，k∈Z例2不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：（1）tan167°与tan173°；（2）tan-114π与tan-135π。
解：（1）∵90°＜167°＜173°＜180°又∵tanx，在（90°，270°）上是增函数∴tan167°＜173°（2）∵tan-114π=tan-3π4
tan-135π=tan-35π
又∵-3π2＜-3π4＜-3π5＜-π2，函数y=tanx，x∈-3π2-π2是增函数，∴tan-3π4＜-3π5.即tan-11π4＜tan-135π。
说明：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到y=tanx的同一单调区间内，利用y=tanx的单调递增性来解决。
演练反馈
（1）直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx（ω为常数且ω＞0）相交的相邻两点间的距离是A．πB．2πω
C．πωD．与a值有关
（2）tanx＞0是x＞0的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
（3）根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角x集合①33≤y=tanx＜1
②1＋tanx≥0
【参考答案】
（1）C．注：y=a与y=tanωx相邻两点之间距离即为周期长（2）D．注：tan-3π4=1＞0由-3π4＜0，但，反之x=3π4＞0，但tan3π4=-1＜0
（3）①x｜kx＋π6≤π＜kπ＋π4，k∈Z②x｜kx-π4≤π＜kπ＋π2，k∈Z【总结提炼】（1）y=tanx的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得-π2，π2上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。
（2）y=tanx性质。
定义域值域周期奇偶性单调增区间对称中心渐近线方程x｜x≠kπ＋π2k∈ZRπ奇函数kπ-π2，kπ＋π2，k∈Z（kπ，0）k∈Zx=kπ＋π2，k∈Z板书设计课题
1用正切线作正切函数图像
2正切函数的性质
例1
例2
演练反馈
总结提炼
【教学设计示例】
正切函数的图像和性质（第二课时）
教学具准备
直尺、投影仪
教学目标
运用正切函数图像及性质解决问题。
教学过程
设置情境
本节课，我们将综合应用正切函数的性质，讨论泛正切函数的性质。
探索研究
（1）复习引入
师：上节课我们学习了正切函数的作图及性质，下面请同学们复述一下正切函数y=tanx的主要性质生：正切函数y=tanx，定义域为x｜x≠kπ＋π2，k∈Z；值域为R；周期为T；单调递增区间kπ-π2，kππ2k∈Z。
（2）例题分析
例1判断下列函数的奇偶性：
（1）y=2＋cosx＋tanx
（2）y=x2tanx-ctg2x
分析：根据函数的奇偶性定义及负角的诱导公式进行判断。
解：（1）∵y=2＋cosx＋tanx的定义域为x｜x≠kπ＋π2，k∈Z关于原点对称。
f（-x）=2＋cos（-x）＋tan（-x）=f（x）
∴f（x）为偶函数
（2）∵y=x2tanx-ctg2x的定义域为x｜x≠k×π2，k∈Z关于原点对称，且f（-x）=（-x）2tan（-x）-ctg2（-x）=-x2tanx-ctg2x≠f（x）且f（-x）≠-f（x），∴f（x）即不是奇函数又不是偶函数。
