(3)取最大值、最小值情况:
正弦函数y=sinx,当x=kπ+π2时,(k∈Z)函数值y取最大值1,当x=2kπ-π2时,(k∈Z)函数值y取最小值-1。
余弦函数y=cosx,当x=2kπ,(k∈Z)时,函数值y取最大值1,当x=(2k+1)π,(k∈Z)时,函数值y取最小值-1。
(4)正负值区间:sinx>0x∈(2kπ,(2k+1)π)
sinx<0x∈((2k+1)π,2(k+1)π)
cosx>0x∈-π2+2kπ,π2+2kπcosx<0x∈π2+2kπ,3π2+2kπ(k∈Z)
(5)零点:sinx=0x=kπ(k∈Z)
cosx=0x=kπ+π2(k∈Z)
例题分析
例1求下列函数的定义域、值域:
(1)y=2-sinx;(2)y=-3sinx;(3)y=lg(sinx)。
解:(1)x∈R,1≤y≤3
(2)由-3sinx≥0sinx≤0(2k-1)π≤x≤2kπ(k∈Z)
又∵0≤-3sinx≤3,∴0≤y≤3
∴定义域为[(2k-1)π,2kπ](k∈Z),值域为[0,3]。
(3)由sinx>02kπ<x<(2k+1)π(k∈Z),又由0<sinx≤1
∴lg(sinx)≤0
∴定义域为(2kπ,(2k+1)π)(k∈Z),值域为[-∞,0]。
指出:求值域应注意用到|sinx|≤1或|cosx|≤1有界性的条件。
例2求下列函数的最大值,并求出最大值时的集合:(1)y=cosx+1,x∈R;(2)y=sin2x,x∈R;(3)y=|a|sinx+b(4)y=asinx+b。
解:(1)当cosx=1,即x=2kπ(k∈Z)时,y取得最大值ymax=2
∴函数的最大值为2,取最大值时x的集合为{x|x=2kπ,k∈Z}。
(2)当sin2x=1时,即2x=2kπ+π2x=kπ+π4(k∈Z)时,y取得最大值ymax=1。
∴函数的最大值为1,取最大值时x的集合为{x|x=kπ+π4,k∈Z}。
(3)若a=0,y=b,此时函数为常数函数。
若a≠0时,|a|>0
∴sinx=1时,即x=2kπ+π2(k∈Z)时,函数取最大值ymax=|a|+b,∴a≠0时函数的最大值为|a|+b,取最大值时x的集合为x|x=2kπ+π2,k∈Z。
(4)若a<0,则当sinx=-1时,函数取得最大值ymax=-a+b。
若a=0,则y=b,此时函数为常数函数。
若a>0,当sinx=1时,函数取得最大值ymax=a+b。
∴当a<0时,函数取得最大值-a+b,取得最大值时x的集合为x|x=2kπ-π2,k∈Z;当a>0时,函数取得最大值a+b,取得最大值时x的集合为x|x=2kπ+π2,k∈Z,当a=0时,函数无最大值。
指出:对于含参数的最大值或最小值问题,要对sinx或cosx的系数进行讨论。
思考:此例若改为求最小值,结果如何?
例3要使下列各式有意义应满足什么条件?
(1)sinx=1-m2-m;
(2)cosx=a2+b22ab。
解:(1)由|sinx|≤11-m2-m≤1,(1-m)2≤(2-m)2m≤32
∴当m≤32时,式子有意义。
(2)由cosx≤1a2+b22ab≤1(a2+b2)2≤(2ab)2(a2-b2)2≤0a2=b2,即a=±b∴当a=±b时,式子有意义。
演练反馈
(1)函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的简图是(2)函数y=2sinx+2的最大值和最小值分别为A.2,-2B.4,0C.2,0D.4,-4
(3)函数y=cos2x-3cosx+14的最小值是A.-74B.-2C.14D.-54
(4)如果sinx=a-1与cosx=2a同时有意义,则a的取值范围应为A.-12≤a≤12
B.0≤a≤2
C.0≤a≤12
D.a=25或a=0
(5)y=sinx与y=cosx都是增函数的区间是A.2kπ,2kπ+π2,k∈Z
B.2kπ+π2,2kπ+π2,k∈Z
C.(2k+1)π,2kπ+3π2,k∈ZD.2kπ+3π2,2kπ+2π,k∈Z(6)函数y=2cosx-1的定义域,值域,y=0时x的集合为。
【参考答案】
1B2B3A4C5D
62kπ-π3,2kπ+π3k∈Z;[0,1];x|x=2kπ±π3,k∈Z【总结提炼】
(1)y=sinx,y=cosx的定义域均为R(2)y=sinx、y=cosx的值域都是[-1,1](3)有界性:|sinx|≤1,|cosx|≤1
(4)最大值或最小值都存在,且取得极值的x集合为无限集。
(5)正负敬意及零点,从图上一目了然。
(6)单调区间也可以从图上看出。
板书设计
1定义域
2值域例2
3最值
4正负区间例3
5零点课堂练习
例1
课后思考题:求函数y=sin2x-4sinx+3的最大值和最小值及取最值时的x集合提示:y=(sinx-2)2-1
正弦函数、余弦函数的图像和性质(第三课时)
教学具准备
直尺、投影仪。
教学目标
1理解y=sinx,y=cosx的周期性概念,会求周期。
2初步掌握用定义证明y=f(x)的周期为T的一般格式。
教学过程
设置情境
自然界里存在着许多周而复始的现象,如地球的自转和公转,物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等。数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知,角α的终边每转一周又会与原来的位置重合,故sinα,cosα的值也具有周而复始的变化规律。为定量描述这种周而复始的变化规律,今天,我们来学习一个新的数学概念——函数的周期性(板书课题)
探索研究
(1)周期函数的定义
引导学生观察下列图表及正弦曲线
-2π-3π2-π-π20π2π3π22πsinx010-1010-10
正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时,函数值就重复出现。
联想诱导公式sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z),若令f(x)=sinx则f(x+2kπ)=f(x),由这个例子,我们可以归纳出周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。
如2π,4π,……及-2π,-4π……都是正弦函数的周期。
注意:周期函数定义中f(x+T)=f(x)有两点必须重视,一是T是常数且不为零;二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立。
师:请同学们思考下列问题:①对于函数y=sinx,x∈R有sinπ4+π2=sinπ4能否说π2是正弦函数y=sinx的周期。
生:不能说π2是正弦函数y=sinx的周期,这个等式虽成立,但不是对定义域的每一个值都使等式sinx+π2=sinx成立,所以不符合周期函数的定义。
②f(x)=x2是周期函数吗?为什么
生:若是周期函数,则有非零常数T,使f(x+T)-f(x),即(x+T)2=x2,化简得T(2x+T)=0,∴T=0(不非零),或T=-2x(不是常数),故满足非零常数T不存在,因而f(x)不是周期函数。
(2)最小正周期的定义
师:我们知道……-4π,-2π,2π,4π,……都是正弦函数的周期,可以证明2kπ(k≠0且k∈Z)是f(x)=sinx的周期,其中2π是f(x)=sinx的最小正周期。
一般地,对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
今后若涉及的周期,如果不加特别说明,一般都是指函数的最小正周期。
依据定义,y=sinx和y=cosx的最小正周期为2π。
(3)例题分析
例1求下列函数的周期:
(1)y=3cosx,x∈R;
(2)y=sin2x,x∈R;
(3)y=2sin12x-π6,x∈R。
分析:由周期函数的定义,即找非零常数T,使f(x+T)=f(x)。
解:(1)因为余弦函数的周期是2π,所以自变量x只要并且至少要增加到x+2π,余弦函数的值才能重复取得,函数y=3cosx,x∈R的值也才能重复取得,从而函数y=3cosx,x∈R的周期是2π。
即f(x)=3cosx=3cos(x+2π)=f(x+2π),∴T=2π(2)令z=2x,那么x∈R必须并且只需z∈R,且函数y=sinz,z∈R的周期是2π,就是说,变量z只要并且至少要增加到z+2π,函数y=sinz,z∈R的值才能重复取得,而z+2π=2x+2π=2(x+π)所以自变量x只要并且至少要增加到x+π,函数值就能重复取得,从而函数y=sin2x,x∈R的周期是π。
即f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)
∴T=π