∴sin(α+β)sin(α-β)sin2αcos2β=sin2α-sin2βsin2αcos2β……②又∵1-tan2βtan2a=sin2αcos2β-cos2αsin2βsin2αcos2β=sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)sin2βsin2αcos2β=sin2α-sin2αsin2β-sin2β+sin2αsin2βsin2αcos2β=sin2α-sin2βsin2αcos2β……③由②、③得
sin(α+β)sin(α-β)sin2αcos2β=1-tan2βtan2α本题还可以从函数名称来分析,左边是正、余弦函数,右边是正切函数,故可考虑从右边入手用化弦法,请同学们自己把上面过程反过来,从右边推出左边。
例5求证:cosα+3sinα=2sinπ6+α师:本题我们可以从角的形式来分析,左边是单角,右边是复角,如果从右边证左边则要把复角变单角(即利用和角公式);如果从左边证右边则须配一个角π6,所以本题起码有两种证法。
证法1:右边=2sinπ6cosα+cosπ6sinα=212cosα+32sinα=cosα+3sinα左边
∴原式成立
师:另一种证法根据刚才的分析要配出角π6,怎样配?大家仔细观察证法一就不难发现了。
证法2:(学生板书)
左边=212cosα+32sinα
=2sinπ6cosα+cosπ6sinα=2sinπ6+α=右边∴原式成立
演练反馈
(1)化简=sin(α-β)sinαsinβ+sin(β-θ)sinβsinθ+sin(θ-α)sinθsinα(2)已知sinαcosβ=1,则sin(α+β)的值A.不确定,可在[0、1]内取值
B.不确定,可在[-1、1]中取值
C.确定,等于1
D.确定,等于1或-1
【参考答案】
(1)原式=sinαcosβ-cosαsinβsinαsinβ+sinβcosθ-cosβsinθsinβsinθ+sinθcosα-cosθsinαsinθsinα=ctgβ-cosα+ctgθ-ctgβ+ctgα-ctgθ=0
(2)C
【总结提炼】
(1)利用“拆角”“凑角”变换是进行三角函数式求值、证明、化简的常用技巧,如:α=(α+β)-β,2α=(β+α)-(β-α),α+2β=(α+β)+β。在三角形中,A+B=π-C,B=π-(A+C)等变换技巧,同学们应十分熟悉。
(2)本节课的例5,代表着一类重要题型,同学们要学习它的凑角方法,一般地Asinx+Bcosx=A2+B2sin(x+θ),其中tanθ=BA(A≠0)。
(3)在恒等式中,实施特值代换,是一类重要的数学方法——母函数法,这种方法在数学的其他学科中,均有用武之地。它反映的是特殊与一般的辩证统一关系。
板书设计
课题:两角和与差的正弦例1例4
1公式推导例2例5
①sin(α+β)=cos[π2-(α+β)]例3演练反馈=cos[π2-α-β]
总结提炼
=sinαcosβ+cosαsinβ得到公式……S(α+β)
把公式中β换成-β得公式……S(α-β)
2公式的结构特点
1°用单角函数表示复角函数
2°右边中两个积的函数名称不同
3°……运算符号同左边括号
中的运算符号一致(区别于C(α+β)、C(α-β))
3折、凑角技巧
【习题精选】
基础题
一、选择题
1cos80°sin40°+sin50°cos10°的值是A.12 B.22 C.32 D.-32
2sin(x+27°)cos(18°-x)+sin(18°-x)cos(x+27°)等于A.-22
B.22
C.12
D.-12
3下列命题中是假命题的是
A.对任意的α和β角,有sin(α+β)=sinαcosβ-cosαsinβ成立B.存在无穷多个α和β角,使得sin(α+β)=sinαcosβ-cosαsinβ成立C.对任意的α和β角,有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ成立D.存在无穷多个α和β角,使得sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ成立4已知ctgα=2,tan(α-β)=-23,则tan(β-2α)的值是A.-74
B.-18
C.18
D.47
5若1-tanA1+tanA=4+5,则cosπ4+A=
A.-(4+5)
B.4+5
C.-14+5
D.14+5
6化简sin15°·cos9°-cos66°sin15°·sin9°+sin66°的结果是A.tan9°
B.-tan9°
C.tan15°
D.-tan15°
二、填空题
712sin15°-32cos15°=。
8若tan80°-tan20°+mtan80°tan20°=3,则m。
9若sinθ-π6=817,π6<θ<π2,则cosθ=。
10设α、β为锐角,且sinα=35,tanβ=17,则α+β=。
三、解答题
11已知sin(α+β)=35,cos(α-β)=-1213,且π2<α+β<π,π<α-β<23π,求cos2α,sin2α,tan2α的值。
12设34π<θ<54π,
求
cosπ4sin34π-θsin(π-θ)-sinθ-π2
sinθ+π4的值。
13已知tanα=3(1+m),3(tanαtanβ+m)+tanβ=0,且α、β均为锐角,求α+β的值。
14在△ABC中,已知tanA=13,tanB=-2,求∠C。
15已知sinα=msin(α+β)(m>1),求证tan(α+β)=sinβcosβ-m。
综合题
一、选择题
162sin50°cos10°(1+3tan10°)2cos5°的值为A.12
B.1
C.3
D.2
17在△ABC中,如果sinA=45,cosB=513,那么sin(A+B)=
A.6165B.6365
C.3165D.5665
18若tanα,tanβ是方程x2-6x+7=0的两个根,则α+βA.34B.π4
C.2kπ+34π(k∈Z)D.kπ-π4(k∈Z)
二、填空题
19已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,则cos(α-β)=。
20已知sin(π+θ)=-35,θ是第二象限角,tan32π+θ=-2,θ是第三象限角,则cos(θ-θ)=。
21若tanα,tanβ是方程x2-3x-3=0的两个根,则sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)=。
22已知5cosα-β2+7cosβ2=0,则tanα2tanα-β2=。
23已知sinθ=45,θ是第二象限角,又tan(θ+α)=1,则tanα=。
三、解答题
24化简:cos(α-15°)+cos(α+45°)-3cos(α+15°)。
25已知在△ABC中,tanC+tanB+3tanBtanC=3,又3tanA+3tanB+1=tanAtanB,试判断△ABC的形状。
26化简:(tan10°-3)·cos10°sin50°。
27已知:cosα=17,cos(α+β)=-1114,求cosβ的值。
28设m为实数,且点A(tanα,0),B(tanβ,0)是二次函数f(x)=mx2+(2m-3)·x+m-2图像上的点,求函数y=tan(α+β)的最小值。
【答案与提示】
1C2B3A4C5B6B7-228-39153-83410π411sin2α=-1665,tan2α=-1663,提示:2α=(α+β)+(α-β)
12-113α+β=π314π415提示:α=(α+β)-β16D17D18D19-12提示:消去角γ205521-322-6,cos2α=6365提示:α-β2=α2+α-β2,β2=α2-α-β223-7,提示:α=(θ+α)-θ240,提示:α+45°=(α+15°)+30°25顶角为120°的等腰三角形26-22712或-719828-34,提示:由已知tanα,tanβ必为方程mx2+(2m-3)·x+m-2=0的两根,tanα+tanβ=3-2mm,tanαtanβ=m-2m,故tan(α+β)=23-m,又由△≥0(m≠0),得m≤94(m≠0),怕以tan(α+β)的最小值是-34。