两角和与差的正弦、余弦、正切
【教学目标】
1.了解两角和的余弦公式的证明以及其它三角函数和（差）角公式的推导；2.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；3.能灵活运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式的证明，提高学生的分析问题、解决问题的能力；4.通过和（差）角公式的推导，使学生了解它们的内在联系和知识的发展过程，培养学生的逻辑推理能力，培养学生利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题；【教学建议】两角和的正弦、余弦、正切
知识结构
重点与难点分析
本节重点是正弦、余弦的和角公式，而余弦的和角公式更基础，因为正弦的和角公式是由它和诱导公式推导出的，这两个公式不仅是其它和（差）角公式的基础，而且还是倍角公式的基础，也是前面诱导的公式的一般形式。对两角和的正弦、余弦公式决定本节其它公式以及后面公式的理解。本节另一个重点是公式的运用，由于公式比较多、复杂，运用时要注意技巧，通过典型题目的分析讲解，掌握分析问题解决问题的方法，培养学生逻辑思维能力和分析问题能力。
本节难点是余弦和角公式的推导以及本节公式的综合运用。首先学生对两角和余弦的理解有一定的难度，误认为存在cos（α＋β）=cosα＋cosβ关系，通过具体实例消除学生的误解。学生很难理解利用用单位圆、平面内两点间的距离公式等几何知识与三角函数建立联系，这里让学生了解即可。由于证明的是等式因此要在单位圆中寻找等量关系，通过角间关系让学生找到P1P3=P2P4，再利用三角函数表示等量关系。公式的综合运用涉及的公式较多，而且公式中角和函数名的多变性，公式间的联系紧密，使得解题时公式的选择有一定的困难。有些题目的技巧性较强，将题目的部分系数或角变形，添加，拼凑等技巧，学生不易想到。
【教学建议】
1本节内容是在学生掌握任意三角函数的的基础上，进一步研究两角和与差的三角函数与单角三角函数的关系，首先要学生理解两角和（差）的三角函数的意义，可以借助三角函数线理解两角和（差）的三角函数几何意义。然后再通过具体实例消除学生的误解cos（α＋β）=cosα＋cosβ，说明两角和（差）的三角函数不能按分配律展开。
2平面内两点间的距离公式应用十分广泛，证明难度不大，可以适当提示让学生整理得出，下一章利用向量也可以证明此公式，而且公式利用率比较高，因此使学生理解它的由来并要求学生记住。
3两角和的余弦证明是本节的难点之一，是推导出其它和（差）角三角函数公式的基础，因此首先要把它讲透。首先让学生知道，要用单角的三角函数表示两角和（差）的三角函数如何在两者之间建立联系。充分利用单位圆、平面内两点间的距离公式以及多媒体动画（或投影），让学生寻找几何图形中的等量关系，P1P3=P2P4，然后通过等量关系，在单角与两角和的三角函数之间建立等量关系。从而整理即可得公式。
4利用公式C（α-β）把以前学过的余角的诱导公式cos（π2-α）=sinα，sin（π2-α）=cosα中的角α推广到任意角，学生可以理解cos（π2-α）=sina中的角a为任意角，在推导sin（π2-a）=cosα中要给学生说明cos（π2-α）=sina中的α既然是任意角，就可以用角（π2-α）替换α，给学生强调这两者中的α不是同一个，把角π2-α作为整体看作角β即令π2-α=β，可整理得到用β表示的公式，替换字母后即可。
5正切的和角公式推导，启发学生思考利用同角三角函数的关系推到，在推导过程学生容易忽略角的限制，让学生讨论总结出完整的公式，明确T（α±β）与前两个公式中角的区别，要用T（α±β）必须考虑角的范围是否满足，对于不能使用此公式需要考虑其它的方法，可适当举例说明，如tan（π2-α）。在证明Tα±β让学生思考能否如同Cα-β，Sα-β一样得到，需要先引入tan（-α）=-tanα，使学生了解三角函数的证明方法不唯一，要善于发现总结好的方法，从中进一步了解三角函数之间的各种关系。
6和（差）角的三角函数公式证明后，课后让学生总结公式间的联系与区别，课上再一起完善关系图，在解题时能灵活的选择公式使用。
7在讲解例题时关键是题目的分析，解题方法的寻找，使学生逐步掌握如何在已知与所求结果之间建立联系。对于有些题目可以给与适当提示由学生去探索，如1＋tan15°1-tan15°，学生很容易想到的是先求tan15°，首先给学生肯定此方法可以求解，然后问学生能否还有其它更简单的？提示tan45°=1特殊值，再让学生思考角15°，45°之间的关系，这样可以利用哪个公式求解？使学生了解解题方法的多样性，掌握如何分析寻找解题的思路。例题讲解后给与适当的总结回顾，使学生从整体在了解题目分析的过程。
【教学设计示例】
两角和与差的正弦、余弦、正切（第一课时）
教具准备
直尺、圆规、投影仪
教学目标
1．掌握C（α＋β）公式的推导，并能用赋值法，求出公式C（α-β）。
2应用公式C（α＋β），求三角函数值。
教学过程
设置情境
上一单元我们学习了同一个角的三角函数的性质以及各三角函数之间的相互关系。本节开始讨论两个角的三角函数，已知任意角α、β的三角函数值，如何求出α＋β，α-β或2α的三角函数值，这一节课我们将研究cos（α＋β）、cos（α-β）。
探索研究
（1）公式cos（α＋β）、cos（α-β）推导。
请大家考虑，如果已知cosα、cosβ，怎样求出cos（α＋β）？
cos（α＋β）=cosα＋cosβ是否成立。
生：不成立，α=0，β=π2等式就不成立。
师：很好，把cos（α＋β）写成cosα＋cosβ是想应用乘法对加法的分配律，可是cosα是角α的余弦值，并不是“cos”乘以α，不能应用分配律。
事实上如果α、β都是锐角，那么总有cos（α＋β）≠cosα＋cosβ。
考虑两组数据
①α=π3，β=π6这时cosα=12，cosβ=32而cos（α＋β）=cosπ3＋π6=cosπ2=0
②α=π3，β=-π6这时cosα=12，cosβ=32而cos（α＋β）=cosπ3-π6=π6=32
从这组数据我们发现不能由cosα、cosβ直接得出cos（α＋β）。师：如果我们再算出sinα，sinβ，试试看能否找到什么关系。
生：①cosα=12，sinα=32，cosβ=32，sinβ=12，cos（α＋β）=0而cosαcosβ-sinαsinβ=0
②cosα=12，sinα=32，cosβ=32，sinβ=-12，cos（α＋β）=32而cosαcosβ-sinαcosβ=32
由（1）、（2）可得出，cos（α＋β）=cosαcosβ-sinαsinβ师：这位同学用具体的例子得到的一个关系式：cos（α＋β）=cosαcosβ-sinαsinβ图1
只有通过严格的理论证明才行。下面给出证明：为了证明它，首先给出两点间的距离，图1（也可以利用多媒体课件演示）。考虑坐标平面内的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）过点P1、P2分别作x轴的垂线P1M1，P2M2，与x轴交于点M1（x1，0）M2（x2，0）；同理N1（0，y1），N2（0，y2）
那么P1Q=M1M2=|x2-x1|，QP2=N1N2=|y2-y1|，由勾股定理P1P22=P1Q2＋QP22=（x2-x1）2＋（y2-y1）2，由此得到平面内P1（x1，y1）P2（x2，y2）两点间的距离公式P1P2=（x2-x1）2＋（y2-y1）2
师：（可以用课件演示）如右图2，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α、β与-β请同学们把坐标系中P1，P2，P3，P4各点的坐标用三角函数表示出来。
图2
生：P1（1，0），P2（cosα，sinα），P3cos（α＋β），sin（α＋β），P4cos（-β），sin（-β）
师：线段|P1P3|与|P2P4|有什么关系？为什么？
生：因为△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|。
师：请同学们用两点间的距离公式把|P1P3|=|P2P4|表示出来并加以整理。
cos（α＋β）-12＋sin2（α＋β）=
cos（-β）-cosα2＋
sin（-β）-sinα2
展开并整理，得
2-2cos（α＋β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）
所以cos（α＋β）=cosαcosβ-sinαsinβ（记为C（α＋β））
这个公式对任意的α，β均成立，如果我们把公式中的β都换成-β，又会得到什么？
生：cos[α＋（-β）］=cosαcosβ＋sinαsinβ即cos（α-β）=cosαcosβ＋sinαsinβ（记为Cα-β）
（2）例题分析
例1不查表，求cos15°及cos105°的值。
因为题目要求不查表，所以要想办法用特殊角计算，为此105°化成45°＋60°，15°化成45°-30°，请同学们自己利用公式计算。
注：拆角方法并不惟一。事实上，如果求出cos15°，那么cos105°=cos（90°＋15°）=-sin15°=-1-cos215°=……，再者，15°也可写成60°-45°，甚至135°-120°等均可以。
例2已知sinα=23，α∈π2，πcosβ=-34，β∈π3π2，求cos（α-β）的值。
分析：观察公式C（α-β）要算cos（α-β）应先求出cosα，sinβ。
解：由sinα=23，α∈π2，π得
cosα=-1-sin2α=-1-232=-53
又由cosβ=-34，β∈π，3π2得
sinβ=-1-cos2β=-1--342=-74
cos（α-β）=cosαcosβ＋sinαsinβ=-53-34＋23-74
=35-2712
例3不查表，求下列各式的值：
（1）cos80°cos20°＋sin80°sin20°；（2）cos215°-sin215°；（3）cos80°cos35°＋cos10°cos55°。
解：（1）cos80°cos20°＋sin80°sin20°=cos（80°-20°）=cos60°=12
（2）cos215°-sin215°
=cos15°cos15°-sin15°sin15°=cos（15°＋15°）=cos30°=32
（3）cos80°cos35°＋cos10°cos55°=cos80°cos35°＋sin80°sin35°=cos（80°-35°）=cos45°=22
例4证明公式：
（1）cosπ2-α=sinα；（2）sinπ2-α=cosα证明：（1）利用C（α-β）可得cosπ2-α=cosπ2cosα＋sinπ2sinα=0·cosα＋1·sinα=sinα∴cosπ2-α=sinα
（2）因为上式中α为任意角，故可将π2-α换成α，就得cosα=sinπ2-α即sinπ2-α=cosα
练习（投影、学生板演）
（1）cos44°sin14°-sin44°·cos14°（2）已知cos（α-30°）=1213，30°＜α＜90°，求cosα解答：（1）逆用公式cosαcosβ-sinαsinβ=cos（α＋β）
cos44°sin14°-sin44°cos14°=cos44°cos76°-sin44°sin76°=cos（44°＋76°）=cos120°=-12
（2）凑角：∵30°＜α＜90°，∴0°＜α-30°＜60°，故cosα=cos[30°＋（α＋30°）］=cos30°cos（α-30°）-sin30°sin（α-30°）=
32·1213-
12·513=123-526。
说明：请同学们很好体会一下，上述凑角的必然性和技巧性，并能主动尝试训练，以求熟练。
演练反馈
（1）sin14°cos16°＋sin76°cos74°的值是A．32
B．12
C．-32
D．-12
（2）sinπ12-3cosπ12等于
A．0B．-2C．2D．2
（3）已知锐角α、β满足sinα=55，cosβ=31010，则α＋β为A．π4B．3π4
C．π4或34π
D．2kπ＋π4，k∈Z
【参考答案】
（1）B；（2）B；（3）A。
【总结提炼】
（1）牢记公式“C（α±β）=C·CS·S”结构，不符合条件的要能通过诱导公式进行变形，使之符合公式结构，即创造条件用公式。
