从上面的例子可以看出，无穷小量在这些问题中的应用是十分自然的。由于微积分理论的研究是非均匀的变化（例如非匀速运动；几何中的曲线形的问题），而研究问题的思想主要是将非均匀变化转化成已解决的均匀变化来研究。即“化非匀速运动为匀速运动”、“化曲为直”；而无穷小量由于其本身的特性恰好为这种转化的实现提供了条件。因此，无穷小分析在微积分理论形成的时期就得到广泛的应用，因此既使是在严格的极限理论建立以后，这一方面仍然得到了广泛的应用和进一步的发展。
微积分理论在实践中广泛而成功地应用，使数学家们对它的可靠性是毫不怀疑的。但当时作为微积分理论基础的无穷小分析却含有一定的逻辑矛盾。这就是所谓的“贝克莱悖论”。
贝克莱悖论的主要内容是对无穷小进行发难：无穷小量究竟是否为0？就无穷小量的实际应用而言，它必须既是0，又不是0，这一点在上面的两个例子有充分的体现，但从逻辑的角度来看，这的确是一个矛盾。
例如：在求圆的面积时，如果认定无穷小量AB为0，那么无穷小三角形OAB的面积就为零，或者说根本不存在三角形；而如果认定AB不为0，那么无穷小三角形就仍然是曲边三角形，从而就不能用计算直边三角形的面积的方法求出圆的面积。同样，在求自由落体的速度时，如果认为无穷小量△t为0，那么△S△t就是00，这在数学上是没有意义的，或者说物体根本没有运动发生；而如是认定△t不为0，那么所求出的△S△t就应是△t时间内的平均速度，而不是瞬时速度。
正是由于存在着这样的逻辑矛盾，英国大主教贝克莱（1685—1753年）对无穷小分析理论提出了猛烈的抨击，当然他最主要的目的是为维护宗教和神学的威信。由于人们确信建立在无穷小分析之上的微积分理论的正确性，因此，上述的矛盾就被认为是悖论。贝克莱悖论的提出在当时数学界引起了一定的混乱，因此人们把它称为“第二次数学危机”。
悖论产生后，数学家们纷纷提出方案以解除矛盾，其中达朗贝尔（1717—1783年）和柯西（1789—1857年）是将极限概念作为微积分的基础的代表人物。刻划极限的ε方法由他们提出。而现在我们通常使用的“ε-δ”的极限定义是由后来的数学家在达朗贝尔和柯西的工作基础上改进完成的，由于将微分、积分严格地建立在极限的基础上，从而克服了的危机和矛盾。
“罗素悖论”与第三次数学危机
第三次数学危机产生于19世纪末20世纪初。此时正是数学空前发展的时期。19世纪70年代康托儿（1845—1918年）创立了集合论，它既是现代数学的基础，也是产生危机的直接来源。
一般认为，由于严格的实数理论及其建立在其上的极限理论作为保证，前两次危机已经结束，数学的大厦已经建立在牢固的基础之上，这时数学家们是怀着一种成功喜悦的心情迎接着新世纪的到来。大数学家彭加勒（1854—1912年）于1900年在巴黎召开的国际数学家大会上乐观地声称：“今天我们可以说，绝对的严格已经取得了。”彭加勒的话音未落，数学基础的矛盾——集合论悖论就已接踵而至，造成了更深刻的数学基础的危机。
危机产生于著名的罗素（1872—1970年）悖论，这个悖论叙述简单，且只涉及到集合论中几个最基本的概念：“集合”、“元素”、“属于”和一个基本的集合论原则——概括原则。
根据逻辑学上的二分法，所有集合可以分为两类：一类是“本身分子集”，这种集合自身也是该集合的一个元素。例如：设A为一切概念组成的集合”，由于它本身也是一个概念，所以必为该集自身的一个元素，所以A就是一个本身分子集；另外设B为“一切集合的集合”，则B也是本身分子集。另一类是非本身分子集，这种集合自身不是它的一个元素。例如：M是“全体偶数的集合”，当然这个集合不是偶数，也就不是这个集合中的一个元素了，所以M是非本身分子集，这样的集合还有很多。按照排中律，任何一个集合，它不是本身分子集就一定是非本身分子集，而且只能是其中的一个。
现在提出这样一个问题：一切非本身分子集做成的集合∑，它应该属于上面两类中的哪一类呢？
如果∑是本身分子集，那么，它应是自身的一个元素，那它又应该是非本身分子集。如果∑是非本身分子集，那么∑就不是它自身的一个元素，但是按定义∑实际上又是自身的一个元素，不论∑为本身分子集还是非本身分子集，都有矛盾产生。这就是罗素悖论。
罗素悖论最初叙述为上面的古典集合论中的悖论的形式，但是很快就发现它可化归为最基本的逻辑概念的形式，而且进一步发现能用日常语言来表述它的基本原则，著名的理发师悖论就是罗素悖论的另一种叙述形式。
某个乡村所有有刮胡子习惯的人可分为两类，一类是自己给自己刮胡子的；另一类则是自己不给自己刮胡子的。村上一个理发师，自夸无人可比。他宣称，给而且只给村子里自己不给自己刮胡子的人刮胡子。有一天他发生了疑问，自己是属于两类人中的哪一类呢？或者说，他该不该给自己刮胡子呢？如果他给自己刮胡子（即他属于自己给自己刮胡子的那一类），那么按照他自己的约定，他就不应该给自己刮胡子。如果他不给自己刮胡子（即他属于自己不给自己刮胡子的那一类），同样按他的约定，他又应该给自己刮胡子，于是这个理发师陷入到了两难的逻辑矛盾之中。除了罗素悖论外，还有布拉里-福蒂悖论、康托悖论等。
从数学发展的历史来看，集合论悖论对数学家的震动是十分巨大的：由于集合论已成为整个现代数学的基础，因此，集合论悖论的威胁就不只限于集合论，而遍及整个数学，甚至还包括逻辑。希尔伯特在他的一本著作中曾指出：“必经承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果，这是多么让人难以接受。如果甚至数学思考也失灵的话。那么应该到哪里去寻找真理性和可靠性呢？
第三次数学危机产生后，很多卓越的数学家都参与到如何解决集合论悖论的研究之中，而且提出了一些不同的解决或者说回避悖论的方案。
随着对悖论的解决方案的提出和探讨，推动了人们从逻辑和哲学的角度深入研究数学基础中的问题，并取得了积极的成果。罗素的类型论和策莫洛（1871—1953年）的公理集合论是改造集合论从而消除悖论的两个主要方案。
值得一提的与上述悖论研究有关的是哥德尔（1906—1978年）的不完全定理的提出，简单地说，在一个无矛盾的形式算术系统中，一定存在一个命题及它的否定命题是不能证明的。哥德尔不完全性定理的背景及其证明思想与悖论的分析有着密切的联系。同时它又是数理逻辑最重大的成就之一，是数理逻辑发展的一个里程碑和转折点。
从上面对数学发展历史上的三次危机的产生及其解决的过程来看，任一悖论及其所引起的数学危机都相对于某一理论体系的历史范畴，也就是说它们是认识的不同历史阶段的产物。既然如此，也就不存在任何绝对意义下的悖论。可以说，产生悖论的根本原因是人的认识与客观实际以及认识客观实际的方法与客观规律的矛盾。这种直接和间接的矛盾在某一点上的集中表现就是悖论。人们的认识在各个历史阶段中总有它的局限性和相对性。所以在人们认识客观世界的各个历史阶段所形成的理论体系中，产生悖论的可能性就是存在的，但同时，人们也同样具备排除悖论的可能性。因此，在绝对意义下去寻求悖论的根本原因和解决悖论的根本方法都是不符合认识论原则的。
三次危机的产生，一方面给人们带来了困惑、迷惘，甚至信念上的动摇，但是，随着对危机的解决，人们对数学、对客观世界的认识向前发展了，同时数学的许多新的分支、领域也由于悖论和危机的研究和解决而产生和发展。20世纪的数学同以前整个数学相比，内容不知丰富了多少，认识也不知深入了多少。抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测度论等在集合论的基础上诞生。数理逻辑也兴旺发达，成为数学有机整体的一部分。
矛盾还将不断在数学中产生和发现，解决矛盾是数学家们努力和奋斗的永恒目标。相信数学会在不断解决矛盾的过程中得到发展，成为整个科学的皇冠。
