林钟0667419133483926/12122=25/12f1
夷则0629960127992125/12122=24/12e1
南吕0594603118920724/12122=23/12#d1
元射056123112246223/12122=22/12d1
应钟0529731105946322/12122=21/12#c1
清黄钟05121/12122=1c1
朱载堉在《算学新说》一书中列出了十二平均律的计算公式：
TnTn+1=122或Tn122=Tn+1（n=0，1，2……12）
当n=0，T1为黄钟值；当n=1，T2为大吕值；当n=12，T13为清黄钟值。现在，人们只要利用他的方法、甚至搬用他的数据结果，就可以制出所期待的任一种符合十二平均律的乐器如钢琴之类，而不管人们愿意取黄钟宫音的绝对高度是多少。
朱载堉还经过多次检验，证明了“密率”在理论上的严密性、科学性和正确性。为了检证“密率”，朱载堉还研制了“均准”测律器，并亲自校点笙来验证“密率”。同时，他还提出了“异径管律”理论，为了这项研究工作，他还亲自动手种黍、裁竹制管。这些都是他重视律学实验的例证。正由于严密、正确的数理思维方法和重视实验的治学态度，保证了朱载堉计算“新法密率”的精确性和合理性。
朱载堉的“密率”实现了一代代中国律学家的愿望，完成了人们长达十几个世纪的夙愿。这项成就，在中国音乐史、律学史以及算学史上都具有划时代的伟大意义。但由于中国古代的五声单音体系、民族乐器的音律设置，再加上朱载堉创立“密率”的个人意图等因素，在当时的中国音乐实践中，对十二平均律的应用不是很迫切，所以朱载堉的新律在当时音乐实践中并没有推广使用。更为遗憾的是，昏庸、愚昧的封建朝廷当时只关心“八股举士”
的科举，当其中包含着“新法密率”的《乐律全书》呈献给朝廷时，竟遭到了冷遇。对此，朱载堉早有预料。他的“新法密率”就像那愚昧社会中将要脱胎的孩子一样，躁动母腹，急不可待，仿佛就要堕地大喊。而母亲在兴奋一时之后更多地却又害怕他的诞生，她自信腹中孕育着一位天才、伟人，但她却要勒紧身带，并为他的未来忧心忡忡。在三分损益律被崇拜为神圣法则的时代，新法密率的诞生确实使朱载堉愁过于喜。
朱载堉创造了如此伟大的业绩，但就连《明史》也将其拒之门外。这颗科学和音乐艺术的明珠，就这样被埋没在知识荒漠的王宫殿堂里。尽管朱载堉在他的书中一再呼吁：新法密率“盖2000余年之所未有，自我圣朝始也，学者宜尽心焉。”结果，在他的音律理论创建后一个半世纪，却招来了大量的谩骂和攻击。他们不理解、不理睬，更不能容忍朱载堉的“密率”。在他们看来，古人没有说过的不能说，古人没有做过的不能做；创立新说，提倡新事，就都是臆说，是大逆不道，密率就是对传统律学的背叛和反对。为此，密率被定下了“十大罪状”，结果朱载堉的十二平均率落得了“宣付史馆、以备稽考、未及实行”的结局。在朱载堉之后的300年中，对这项重要发明的问津者竟寥寥无几。
朱载堉创建的十二平均律，虽然在中国没有得到任何重视和应用，但它一经传到西方，便引起欧洲音乐界的震惊。在西方，直到18世纪前半叶，德国作曲家巴赫才分别于1722年和1744年创作了上下两卷的《平均律钢琴曲集》，充分发挥了十二平均律的巨大作用，以创作实践证明了这个律制的合理性和优越性。在此之前，西方音乐为了求得这一音律体系，付出了不亚于中国律学家为此付出的心血，他们不仅在理论上，还在键盘乐器上做了大量实验。这一体系在西方音乐史上的确立，具有很重要的意义，它开创了一个时代的音乐语言和音乐风格，正当西方音乐家为他们的十二平均律理论和实践的优越性感到自豪时，得知遥远的东方古国——中国早在1581年就有了十二平均律理论——“新法密率”，他们对此惊讶不已。他们在这方面整整落后了一个世纪！
德国声学家赫尔姆霍尔茨（1821年—1894年）这样说：“在中国人中，据说有一个王子叫朱载堉的，他在旧派音乐家的反对声中，倡导七声音阶。把八度分成十二个半音以及运用变调方法，也是这个有天才和技巧的国家发明的。”那么西方发明十二平均律，会不会受到传播到西方去的朱载堉的密率的影响呢？著名英国科学家李约瑟曾做过这样的评价：“朱载堉的著作曾经得到很高的评价，他的理论在他的国家却很少付诸实践，这真是不可思议的讽刺。平心而论，在过去的300年间，欧洲及近代音乐确实有可能曾受到中国的一篇数学杰作的有力影响，但是还没有得到传播的证据。与这个发明相比较，发明者的名字是次要的。毫无疑问，朱载堉本人是第一个愿将荣誉归功于另一个研究者的人，也是为要求优先权而最后与人争吵的人。第一个使平均律数学上公式化的荣誉确实应归之中国。”
朱载堉在创十二平均律理论的时候，又发现了以管定律与以弦定律的不同，就提出了“异径管律”论。这实际上是一种管口校正方法。他在《律吕精义》一书中指明，各音律以半音进入较高的次一音律的时候，管不但要缩短长度，同时还要缩小围径，在规定各律管长度的时候，也得规定律管内径的大小。因为管与弦的振动发音方式不同，管的发音体为气柱，必须得测定出气柱实际振动尺度与管的尺度之间的差数，也即是“管口校正”数，这样才能够准确地制造出所需要的律管。朱载堉在“异径管律”理论中，把他的密率理论系统地应用在律管的管口校正上，成功地制出了符合其理论的律管。比利时声学家于1890年发表了一篇报告，他说按照朱载堉提出的律管长度和内径数据，在黄钟的倍律（低八度）、正律和半律（高八度）上加以实验，觉得三律在八度关系上全符合要求，完全正确。
研究乐器
朱载堉以创十二平均律和提出管口校正法而出名，但他不只是一个科学家与音乐理论家，还是一位音乐实践家。当中最突出的，是他在乐器制造上获得的重大成就。
朱载堉为了验证他的密率理论，特制了一架律准，即一个建立在十二平均律基础上的弦定律器。在朱载堉之前，已有不少律学家制作了不同的律准来研究律学，但以往的律准都是以三分损益律为基础的。朱载堉对它们作了分析研究后，制造了一种新的定律器，它不仅在器具的表面刻有十二平均律的数据，同时也刻上了三分损益律的刻度以资对照，将这种律学实验器推向了一个新高度。更重要的是，这架律准既是调律器，也是世界上第一件建立在十二平均律的理论基础上的弦乐器，它可以发音，不仅解决了数据的精确度，也可当作乐器使用。遗憾是，这件宝贵的律准的命运同它的理论基础密率和朱载堉的《乐律全书》一起，被束之高阁，没有在实践中得到应用。
为验证“异径管律”理论，朱载堉制作了36支律管。由于强调音律的精确性和律管制作的精密度，他对律管的材料——竹管的选择作了十分详尽的描述，如“大竹不堪用，惟用小竹长节者耳。”“甜竹最佳”，“新采湿竹，使干极乃造，湿造则不佳”，等等。律管造出后，在实验时，有一个不可忽视的条件：吹气要适当。朱载堉说：“吹时不可性急，急乃焦声，非自然声也”。“吹律人勿用老弱者，气与少壮同，必不相协。然非律不协也。”在这里，指出了吹气强弱对发音的影响。它与现代科学知识是相符合的：当急吹时，吹口处压强过大，管的另一端逸出的气流形成了涡流，而老弱者吹气不足，吹口处空气压强过小，管的另一端甚至无气流逸出。这两种情况都对管的正常发音有影响。
朱载堉不仅用竹制作律管，还制造了铜质的金属律管，为了保证制造过程中的准确性，他写了一份类似现代工艺流程的报告，其中对沙模、焙干、浇铸、钻孔、抛光和截断等有关技术问题一一作了解释和交代。在当时技术条件的限制下，朱载堉能做到这样严谨，是非常了不起的。
朱载堉还致力于古乐器的考辨，做了不少去伪存真的工作。他揭示了古管乐器篪的开孔方法，并详细记录下它的形状、规范。中国古代的编钟在先秦时期已经完备。其独特的形状和结构，使一钟能发出两个基音，悬挂方式也便于敲击。但是，从宋代起，竟不知编钟如何造法，应取何种形状。朱载堉曾对历代的青铜钟做过大量研究，再次证明“古钟扁而不圆”，“甬于架上侧垂之，以便于击。”他还指出了钟的调音方法：“钟声清则去其厚，浊则去其长。”这个调音方法也是符合板振动基本原理的。磬是一种石制乐器，它的历史要比金属制的钟久远得多。但古磬的形状和规范从宋代起也失传了，朱载堉在考察古磬和宋代特磬中，提出一组磬乐器不仅要别以厚薄，而且要“别以大小不等”之说，他认为“宋制非也”。他的看法是符合中国早期的编钟实际的。
在乐器制造方面朱载堉作出的最重要成就之一为处理笙的调律。根据现代学者研究，朱载堉曾经在笙点校上进行密率的实验。朱载堉所做的笙虽然由于演奏不便，而且他全力推崇雅乐音乐，因此没有得到流传；但是他的调律方法几乎和我们现代的钢琴调律方法相一致。他的这些成就，都是应当大书特书的。
朱载堉在乐器学上的另一个贡献是提出了合理的乐器分类问题。传统的“八音”分类以制作乐器的材料为跟据。朱载堉认识到这种分类法有归属不清与不当之弊，同时不能明确表明乐器的发音特点与性能。他把传统的“八音”
分为三类，一类为“吹管乐器”，一类为“弹弦乐器”，另一类为“敲打乐器”。这无疑为乐器分类法上的一个进步。
朱载堉与天文历法
天文历法为我国古代科学中发达最早与成就最大的学科之一，经世代天文学家的奋斗，天文历法工作取得持续的进展。到了元代，科学家郭守敬、王恂等人在从事大量观测并吸取前人研究精髓的基础上，在1281年编撰了十分精密的历法——授时历，把我国古代天文历法的研究工作推向新高峰。但是，建立明王朝以后，因为对天文历法的研究工作采取了极其错误的政策，加上墨守成规、不思改革的思潮泛滥，使得具有优良传统与雄厚基础的天文历法工作失去了生机，从光辉的高峰上跌落下来，到了一个停滞不前甚至倒退的黑暗时期。
明太祖朱元璋为了加强明王朝的封建统治，采取了一系列思想控制措施，对于天文历法的研究，也制定了极其严厉的法律条例，不许民间私自习历、造历，违者或充军或处死。
明代所采用的历法叫大统历，其实它就是授时历，仅改变了名字而已。
大多数历官只能依样画葫芦，穷于应付皇历的颁布。虽然在使用过程中，也曾发现预推结果与实际天象不符的情况，但多无可奈何，不了了之。在朱载堉提出改历之议前，也曾有人提出对历法作小修小改的意见，但由于提议者本身学识肤浅，不能切中要害，更加上反对的势力强大，这些人多以大统历“理数极精，古今历无过之者”为由反对改革祖宗之法，所以改历之事一直束之高阁。这样年复一年，恪守旧法之风益甚，造成了官方历法研究死水一潭的状况，用明孝宗的话说，已经形成了“朝士鲜知星历者”的可悲局面。
朱载堉正是这样的历史背景下，开始他的天文历法研究工作的。首先朱载堉要冒很大的风险才能从事天文历法的研究，没有足够的胆识是不敢问津天文历法这一禁区的。其次，朱载堉必须突破祖制不可变的思想藩篱，与盲目迷信授时历或大统历的社会思潮相抗争。如果没有这样的精神，即使涉足于天文历法这一领域，也将一事无成。再者，朱载堉面对着朝野人士对于天文历法基本无知的形势，他必须从头开始，靠自己的努力，一点一点地学习、摸索，以期解其术、通其法，进而“采众说之所长”，并力求达到“青出于蓝而胜于蓝、冰生于水而寒于水”的新境界。为此，朱载堉不知付出了多少辛勤的汗水。
朱载堉从研究史志所载各家历法入手，步入天文历法领域。通过刻苦的学习和研究，先后编撰了两种历法——黄钟历和圣寿万年历。
黄钟历和圣寿万年历均取中国古代传统历法的经典形式。黄钟历共分九篇，分别解决24节气、72候的计算；月朔和闰月的安排；每日日影长度、漏刻更点和南中天星象的推求；日、月交食的预报，日、月五星运动的计算及其在恒星间所处位置的预报等等天文历法问题。圣寿万年历与之大同小异，共分八篇。这两种历法，除所设历元不同，和因此导致的若干天文数据有所变化外，和授时历并无重大的差异。
从表面上看，黄钟历和圣寿万年历分别取万历九年（1581年）和嘉靖三十三年（1554年）为历元。但实际上在进行各种历法问题的具体推算时，黄钟历是以1581年前的300年，即1281年为实际历元，而圣寿万年历则是以1554年前的4560年，即公元前3007年为实际历元。
黄钟历和圣寿万年历对授时历最有意义的修正，是关于回归年长度及其古今变化的研究。
我们知道，回归年长度（T）并非恒量，而是一个随时间而变化的变量，任一年（t）的回归年长度值可由下式表达：
T=36524219878-00000000614（t-1900）
这是由现代天体力学推导出的理论公式。
在我国古代，关于回归年长度古大今小的概念，是由南宋天文学者杨忠辅首先提出的，在他的统天历中，他建立了求任一年回归年长度值的公式：
T=3652425-0000002116（t-1195）
元代郭守敬等人，接受了杨忠辅的这一概念，并在他们的授时历中给出了经过修正的新算式：
T=3652425-00002t0
式中t0为以1281年起算的整世纪数。
朱载堉批判地继承了杨忠辅、郭守敬等人的成果，建立了回归年长度古今变化的新公式：
在黄钟历中，设实际历元（1281年）的回归年长度为3652425日，T=3652425-000000175（t-1281）在圣寿万年历中，设实际历元（公元前3007年—公元1554年前的4560年）的回归年长度为36525日，T=36525-000000175（t+3006）这两个公式基本上是等价的，依之计算，T值仅有约0000002日之差。
这样，朱载堉纠正了郭守敬等人回归年长度消长法的不当之处，在探索回归年长度古今变化规律的道路上又迈进了一步。
