中国古代数学中，数的概念的扩展首先是从自然数向分数和负数进行的，这与希腊数学中由自然数首先向无理数扩展不一样。造成这种情况的原因是中、希数学的不同性质。中国是算法性数学，希腊则是演绎性数学。
分数
分数概念起源于对整体剖分后对其部分的表示。将物体一分为二，便出现半、大半或小半（中国古时称大半为太半，小半为少半）的说法，这就是原始的分数概念，或者说分数概念的雏形。它也几乎是世界各民族分数概念的共同渊源。部分相对整体而言，作为独立的存在其自身又是一个整体，这种直觉的认识有利于度量制度的建立，却不利于分数概念数学化的进程。中国从西周时已出现了具有分数意义的专用量名，如后来在战国铜器铭文上所见到的、等。一般用作半字，在数量上表示二分之一。
它们可以作为原始分数概念形成的佐证。但在度量意义上，仍然是被当作一个整体来看待的，不便参与数学活动。
东周时期，分数的概念和记叙法有了发展，其意义突破了度量单位的细分这一范围，出现了“三分取一”、“十分一”等说法，“三分取一”和“十分一”已是脱离了单位意义的分数记叙，与常用的“三分之一”、“十分之一”说法的意义是一样的。而现在常用的“几分之几”的记叙形式，至迟在东周后期也已经出现。如公元前5世纪的《孙子兵法》中就有“则三分之二至”（《军事篇》）；“杀士三分之一而城不拔”（《谋攻篇》）等等。
分数的发达与律吕和历学有很大关系。律吕，泛指乐律和音律，古代采用律管的长度来决定基本音程。一般都以三分损益法来推算律管长度，即将某一律管的长度分成三份，去其一份为损，增其一份为益，逐步得到其他律管之长度。这里碰到的计算即是分数的四则运算。历学则更需分数作支撑。由于历法中的数据都采用分数，为了制定出合乎农事的历法，历算学家总是设法使他的数据整齐划一，这就势必造成对分数及其计算方法的研究，促进了分数理论的发展。
除法运算为分数概念的数学化铺平了道路。在中国古代数学中，除法被说成“实如法而一”。其中“实”指被除数，“法”指除数，所谓“实如法而一”，即是“以法量实”，“实”中有等于“法”的量，所得是一，“实”中有几个“法”，所得就是“几”。这表明，除法被理解成求一个数（被除数）包含几个另一个数（除数）的运算。这与原始分数概念中的“几分之几”的意义是相通的。因此，除法运算的表达式可看成一个分数表示式，而除法运算可以理解成是将假分数化成整数或带分数的过程。中国古代采用的是筹算，所以除法的筹式就是分数筹式。
也许由于分数式与除式相一致的缘故，古算书中没有对分数的表示法作专门的介绍。从《孙子算经》关于筹算除法的阐述中，可以推断，一般分数的筹算形式应该是分子在上，分母在下；若是带分数，则整数部分在上，分子居中，分母在下。
7，表作但这种表示法不是唯一的。在《孙子算经》、《张邱建算经》等书中还出现过分子在左、分母在右的形式。这似乎表明，中国古代分数中的分子与分母，像除法中的被除数与除数一样，具有相当的独立性。它给分数运算带来了灵活性。
分数线（分子、分母间的一条横线）起源于10世纪左右的阿拉伯。由于不用分数线的记法并不妨碍分数运算的准确性和简捷性，所以直至17世纪以前分数线在中国还不流行。
小数
小数的实质是十进分数。当人们采用十进制度量方法，计量单位以下部分时必会碰到小数。由于中国古代采用十进制记数，因此计量单位也自然采纳十进制。西汉贾谊（前200—前168）的《新书·六术》中记有：“数度之始，始于微细，有形之物，莫细于毫，是故立一毫以为度始，十毫为发，十发为厘，十厘为分。”这是把毫作为最小单位，逐次以10为进率递进为“发”、“厘”、“分”等。若以厘为单位记录，那么厘以下部分（数字）就是小数。虽然从数学上说，严格的小数概念和记号尚未出现，但它已经明显地蕴含着小数的萌芽，随着计量活动的深入，小数的概念和记法必然会随之出现。
负数
中国数学中，正、负相对应同时被明确提出是在《九章算术》的方程章。为了配合“方程”的解法，书中还提出了正负数之间的加减运算法则——正负术。但是，用“负”表示亏欠、损失等，并应用于表数和计算却是很早的。
在居延汉简中出现了不少关于“负××算”和“负××筹”的实例。例如，“……相除以负百二十四筹。”其中“相除”，即相减；筹，即算筹。相除以负百二十四筹，是说相减后还差124.又如，“负四筹，得七筹，相除得三筹。”这里将“负”与“得”对应起来，同时用于表示相反意义的量，不能不说是数学思想的进步。
“负”字在数学上的应用是值得重视的，但不能因此而认为负数已经被引入数学。负数在数学上的确立需要经历一个由感性认识到知性认识再到理性认识的过程。后面将会提到，即使在《九章算术》中，对正负数的认识也只是处于知性阶段。由此而言，先秦时期出现的“负算”这一名称，只能算是对负数意义的一种感性认识。
