公元1世纪，《九章算术》问世，它标志中国数学系统理论的产生。从此，奠定了后世数学研究的基础内容和理论形式。作为中国数学成熟的标志，《九章算术》还较完整地体现了中国古代的数学思想及其特点。
宋本《九章算术》
《九章算术》的内容
现传本《九章算术》由246个数学问题及其答案和术文组成，按算法分属方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九章。前六章定的是实用名称，“使学者知事物之所在，可以按名以知术也”，后三章“义理稍深，应用亦较狭，故从其专术得名”。各章名称的涵义和基本内容如下：
“方田”，是土地形状的特称，说明该章专讲各种形状地亩面积的计算，设问38题，提出21术，涉及的数学内容主要是平面图形面积的求法和分数的四则运算方法。
“粟米”，是谷物品种的特称，说明该章专讲各种谷物之间的换算，设问46题，提出33术，涉及的数学内容主要是比率算法。
“衰分”，意为按比率分配，说明该章专讲分配问题的解法，设问20题，提出22术，涉及的数学内容仍是比率算法，但难度较粟米章的比率算法要高，是它基础上的发展。
“少广”，名称比较奇特，中国古代称长方形的底、高为广、从，长方形面积给定后，广、从之间存在着广多从少和广少从多的关系。所以按定义而论，“少广”就是“广少而从多，需截多以益少。”说明该章专讲给定长方形面积或长方体体积求其边长的方法，设问24题，提出16术，涉及的数学内容主要是开平方和开立方。作为这类问题的扩充，该章的最后提出了两题已知球的体积而求其直径，即所谓“开立圆”问题。
“商功”，意为工程大小的估计，说明该章专讲开渠作堤、堆粮筑城等工程的计算和用工多少的确定，设问28题，提出24术，涉及的数学内容主要是立体图形体积的计算。
“均输”，意为平均输送，说明该章专讲按人口多少、路途远近、谷物贵贱推算赋税及徭役的方法，设问28题，提出28术，涉及的数学内容主要是在衰分章基础上发展起来的比率算法。
“盈不足”，是中国数学的一种专门算法——盈不足术的代称，说明该章专讲盈不足（包括两盈、盈适足、不足适足等）问题的算法，以及将一般算术问题化为盈不足问题的方法，设问20题，提出17术，涉及数学内容主要是假设法和基于直线内插思想的比率算法。
“方程”，指由数学排列而成的方形表达式，演算“方程”。的方法称为方程术，说明该章专讲列置和演算“方程”的方法，设问18题，提出19术，涉及数学内容主要是与线性方程组相当的理论和正负数运算法则。
“勾股”，指直角三角形，说明该章专讲有关直角三角形的理论，设问24题，提出22术，涉及数学内容主要是勾股定理及其应用。
从上述内容简介中可以看出，《九章算术》不仅内容丰富而且具有实用性强，以及以算为主、数形结合的特点。这个特点在全书的体系结构中也有明显的表现。
《九章算术》的体系
《九章算术》的体系是中国数学理论体系的典型代表。这个体系的基本结构是：以题解为中心，在题解中给出算法，根据算法组建理论体系。所以说，《九章算术》的理论体系是以题解为中心的算法体系。以题解为中心指的是这一理论的中心内容是问题及其解法；算法体系则指建立理论体系的依据和核心是算法。
从表面上看《九章算术》的分类依据似乎有两个：一是按问题的应用属性分类，如关于土地面积的计算归成一类，署名方田；关于谷物换算方法归成一类，署名粟米等等。二是按算法分类，如以介绍盈不足术、方程术、勾股术为主要内容的问题及题解分属三类，署名盈不足、方程和勾股等。其实，这是个表面现象。《九章算术》分类原则仅一个，即算法。《九章算术》的体系也仅一个，即算法体系。所谓实用体系的说法既不确切，也不符合《九章算术》的实际情况。事实上，《九章算术》中的不少问题是为了全面完整地表现算法而编制出来的，这些问题的应用属性完全由《九章算术》的作者所决定，应用属性不成其为分类原则。
近年来中算史家对《九章算术》的算法体系的研究有了较大的进展，发现《九章算术》不仅分类合理，体系完整，而且结构严谨，充分表现了中国数学特有的形式和思想内容。
整个《九章算术》包括了四大算法系统和两大求积公式系统。四大算法系统是分数算法、一般比率算法、组合比率算法、开方算法；两大求积公式系统是面积公式系统和体积公式系统。其中算法是主体，求积公式服务于算法，起表现算法的例解作用。四大算法系统和两大求积公式系统的有机结合构成了《九章算术》完整的理论体系。
《九章算术》的成就
中国古代数学不区分几何、代数等分支，算术这一名称包括了中国数学的全部内容。因此，按现在数学的分支来区别中国数学的内容和成就是有些困难的。但不这样做，也会给认识中国数学带来不便。本书仍采取将《九章算术》的成就分成算术、代数和几何三个方面叙述的办法，以方便读者。
1.《九章算术》的算术成就
《九章算术》的算术成就包括分数运算、各种比例问题和盈不足术三个方面。
分数运算《九章算术》中的分数内容主要在方田章，其中有“约分”、“合分”（加法）、“减分”（减法）、“乘分”（乘法）、“经分”（除法）、“课分”（分数的大小比较）、“平分”（求分数平均数）等。“约分”和现在的约分一样。为什么要约分，书中说，因为“不约则繁，繁则难用”，所以要约分。约分的方法是：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”可半者半之，即如分子分母均为偶数，则可先以2约分。不可半者，则采用更相减损术先求等数（即公因子），然后用等数约之。副，另放一旁的意思。
现在通常采用的分数写法，开始于明末西洋笔算传入中国之时，当时曾有将分母放在分子上的记法。直到清末新式学校中的算术课本才采用现在的写法。
各种比例问题 在《九章算术》衰分章、均输章、勾股章中都有不少比例问题。
《粟米》章一开始就列举了各种粮食的互换比率。“粟米之法：‘粟米五十，粝米三十、粺米二十七、米二十四……’”这就是说：谷子五斗可换糙米三斗，又可换九折精米二斗七升，八折精米二斗四升……粟米章内许多粮食之间的兑换关系均按这个比率计算。如：
粟米章第1题：“今有粟米一斗，欲为粝米，问得几何？”它的解法是：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。”这里，所有数是粟米1斗（10升），所有率是5，所求率是3.于是依术10×3÷5=6升。这种算法叫“今有术”。“今有术”就是比例，是从关系式：
另外，还有现在所谓的复比例问题和链锁比例问题，也都用“今有术”解决。比例分配问题也可用“今有术”解决。如衰分章第2题：“今有牛、马、羊，食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰，我羊食半马（所食）。马主曰，我马食半牛（所食）。今欲衰偿之（按一定比例递减赔偿）问各出几何？”依照羊主人、马主人的话，牛、马、羊所食粟相互之比率是4：2：1，就是用4、2、1各为所求率，4 2 1=7为所有率，粟米50升为所有数，以“今有术”演算得牛主人应偿4450“今有术”是从三个已知数求出第四个数的算法，7世纪时在印度为婆罗摩笈多所知，称之为“三率法”。后来三率法传入阿拉伯，再由阿拉伯传到欧洲，仍保持三率法的名称。欧洲商人十分重视这种算法，叫它为“金法”，意思是赚钱的算法。可见欧洲人对这种算法的推崇。
《九章算术》的几何成就包括面积与体积计算，勾股问题以及勾股测量三个方面。
面积与体积 面积与体积的计算起源很早，《九章算术》将它放在第一章，另外，商功章内有体积计算问题。
我国古代的几何图形面积计算是直接从测量田亩的实践中产生的，因此几何图形的名称从田地的形状得来。如“方田”、“圭田”、“直田”、“邪田”（或“箕田”）、“圆田”、“弧田”、“环田”等，分别表示正方形、三角形、长方形、梯形、圆、弓形、圆环等。
《九章算术》对上述各种图形都有计算公式。
如“圭田术曰：半广以乘正从”。意思是，计算三角形面积的方法是底长之半乘高。
前四句是讲正负数的减法，后四句是讲加法。显然，这是完全正确的。筹算怎样来表示正负数？刘徽有一个说明：“今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑。否则以邪正为异。”这句话是说，同时进行两个运算，若结果得失相反，那就要分别叫做正数和负数。并用红筹代表正数，黑筹代表负数。不然的话，将筹斜放和正放来区别。
这是世界数学史上最早做出的对正负数的明确区分。
世界上除中国外，负数概念的建立和使用都经历了一个曲折的过程。
希腊数学注重几何，而忽视代数，几乎没有建立过负数的概念。印度婆罗摩笈多开始认识负数，采用小点或小圈记在数字上面表示负数。对负数的解释是负债或损失，只是停留在对相反数的表示上，尚未将负数参与运算。
欧洲第一个给出负数正确解释的是斐波那契，他在解决一个关于某人的赢利问题时说：“我将证明这问题不可能有解，除非承认这个人可以负债。”
1484年法国的舒开给出二次方程一个负根，卡当在1545年区分了正负数，把正数叫做“真数”，负数叫做“假数”，并正式承认了负根，不过，这些思想都没有在欧洲引起足够重视。直到18世纪有些数学家还认为负数这个比零小的数，是不可能的。
