由于杆重不计，各杆均是二力杆。显然作用于平板上的力系是平面任意力系，且未知力的分布比较特殊。如图311(b)所示，若用平衡方程的基本形式求解，显然要解联立方程；若用3个力矩的平衡方程求解就简单得多了。
例3.6起重机重FG1为1000kg，可绕铅直轴AB转动，起重机的挂钩上挂一重物，重FG2为4.01×105kg，如图312所示。起重机的重心C到转动轴的距离为1.5m，其他尺寸如图312所示。
求在轴承A和轴承B处的反作用力。(g=10m/s2)解以起重机为研究对象，它所受到的主动力为FG1和FG2。
由对称性知，约束反力和主动力都位于同一平面内。止推轴承A处有两个约束反力FAx和FAy，轴承B处只有一个与轴承垂直的约束反力FB，约束反力的方向均如图312所示。
取如图312所示坐标系，列出任意力系的平衡方程，即解上述联立方程，得FAy=50kN，FB=-31kN，FAx=31kN。
式中，FB为负号，说明它的方向与假设的方向相反，即应指向左。
例3.7塔式起重机如图313所示。机架重700kN其作用线通过塔架的中心。最大起重重量FG2为200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m，平衡载荷重为FG3，到机身中心线距离为6m。试问：
(1)保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，平衡载荷FG3重多少？
(2)当平衡载荷FG3
重为180kN时，满载时轨道A、B给起重机轮子的反力有多大？
解(1)要使起重机不翻倒，应使作用在起重机架上的所有力满足平衡条件。
此时，起重机所受的力有载荷的重量FG2、架重量FG1、平衡荷重FG3及轨道的反约束力FA和FB。
当满载时，为使起重机不绕点B翻倒，上述力必须满足平衡方程ΣMB(F)=0。
当空载时，FG2=0。为使起重机不绕A点翻倒，上述力必须满足平衡方程ΣMA(F)=0。
由此可知，要使起重机不翻倒，必须满足75kNFG3350kN。
(2)取FG3
重为180kN，根据平衡方程有。
即满载时轨道A、B给起重机轮子的反力为210kN。
综合上述分析，得出应用平面任意力系平衡方程解题的步骤如下。
(1)取整体或一部分为研究对象。在取研究对象时，要紧紧依靠题目所给定的条件，立足解题要求，简化、方便及解题习惯是非常重要的。这就要求多练习、多分析、多思考、多比较、多判断，努力提高解题技巧。
(2)进行受力分析，正确做出受力图。受力分析是解决此类问题的关键所在，只有正确分析受力的个数和分布的位置，才能作出准确的受力图，才能找到解决问题的钥匙。
(3)建立合理而符合题意的坐标系。坐标系的建立要从题意出发，以简便、实用和涉及符合题意的未知量个数为目的。
(4)解联立方程。解联立方程时，要注意符号和数字的准确代入，单位最好在解题后给出，以免对解题带来不便。
(5)计算要结合题目要求和实际作出结论，尤其是力的方向要结合受力图给出说明，必要时对计算结果加以讨论。
3.6物体系统的平衡问题及解题方法
在实际工程中，如组合构架、三铰拱等结构，都是由几个物体组成的系统。当物体平衡时，组成系统的每一个物体都处于平衡状态；因此对于每一个受平面任意力系作用的物体，均可写出3个独立的平衡方程。如物体系由n个物体组成，则共有3n个独立的方程。
如果系统中有的物体受平面汇交力系或平面平行力系作用时，则系统的平衡方程数目相应地减少。当系统中的未知量数目等于独立平衡方程的数目时，则所有未知数都能由平衡方程求出，这样的问题称静定问题。前面所列举的例子均属于这一类。但在工程实际中，有时为了提高结构的刚度和坚韧性，常常增加多余的约束，因而使这些结构的未知量的数目多于平衡方程的数目，未知量就不能全部由平衡方程求出，这样的问题称为静不定问题。
对于静不定问题，必须考虑物体因受力作用而产生的形变，加列某些补充方程，才能使方程的数目等于未知量的数目。在以后的学习和专业应用中，应当注意类似问题的产生和存在，认真学习和分析具体问题，达到举一反三的目的。
前面讨论的仅限于单个物体的平衡问题。在工程实际中常遇到由几个物体通过约束所组成的物体系统的平衡问题。在这类平衡问题中，不仅要研究外界物体对这个系统的作用，同时还要分析系统内部各物体之间相互作用。外界物体作用于系统的力，称为外力；系统内部各物体之间相互作用的力，称为内力。内力与外力的概念是相对的。在研究整个系统平衡时，由于内力总是成对地出现，这些内力是不必考虑的；当研究系统中某一物体或部分物体的平衡时，系统中其他物体对它们的作用力就成为外力，必须予以考虑。
例3.8曲柄连杆机构由活塞、连杆和飞轮组成，如图314所示。已知飞轮所受重力为FG，曲柄长OA=r，连杆长AB=l，当曲柄在铅直位置时系统平衡。作用于活塞上的总压力为F，不计活塞、连杆和曲柄的重量。求作用于轴O上的阻力偶矩及轴承O的反力。
解机构平衡问题的特点是系统可动而不完全约束，因此主动力之间要先满足一定关系才能平衡。进行受力分析时，通常由已知到未知依传动顺序选取研究对象，逐个求解。
选取活塞为研究对象，由于杆AB是二力平衡，则。
总之，解平面力系平衡问题的方法和步骤如下。
(1)首先弄清题意，明确要求，正确选择研究对象。
对于单个物体，只要指明某物体为研究对象即可；对于物体系统，往往要选两个以上研究对象。如果选择了合适的研究对象，再选择适当形式的平衡方程，则可使解题过程大为简化。显然，选择研究对象存在多种可能性。例如，可选物体系统和系统内某个构件为研究对象；也可选物体系统和系统内由若干物体组成的局部为研究对象；还可考虑把物体系统全部拆开来逐个选取研究对象等。无论物体系统如何复杂，只要问题是静定的，最终采取把系统拆开来逐个分析的方法，其平衡问题总是可以解决的。因此，在分析时应排好研究对象的先后次序，整理出解题思路，确定最佳的解题方案。
(2)分析研究对象的受力情况并画出受力图。
这是解题的关键一步，要认真对待。在受力图上要画出作用在研究对象上的全部主动力和约束反力。特别是约束反力，必须根据约束特点去分析，不能主观地随意设想。对于工程上常见的几种约束类型要正确理解、熟练掌握。对于物体系统，每确定一个研究对象，必须单独画出它的受力图，不能把几个研究对象的受力图都画在一起，以免混淆。还应特别注意各受力图之间的统一和协调。例如，受力图之间各作用力的名称和方向要一致；注意作用力和反作用力所用符号要有区别，方向应该相反；注意区分外力和内力，在受力图上内力不画。
(3)选取坐标轴，列平衡方程。
列平衡方程要根据物体所受的力系类型列出。比如，平面任意力系只能列出3个独立的平衡方程，平面汇交力系或平面平行力系只能列2个，平面力偶系只能列1个，对于物体系统只能列出3个。列平衡方程时，应选取适当的坐标轴和矩心。坐标轴尽可能选取与力系中多数未知力的作用线平行或垂直的方向，以利于列投影方程；矩心则尽可能选在力系中较多未知力的交点上，以减少力矩的计算。总之，选择的原则是使每个平衡方程中未知数量愈少愈好，最好每个方程只含一个未知量，以免解联立方程，从而使计算简化。
(4)解方程，求未知量。
解题时最好用文字符号进行运算，得到结果时再代入已知数据。这样可以避免由于数据运算引起的运算错误，对简化计算、减少误差都有好处。还要注意计算结果的正负号，正号表示预先假设的指向与实际的指向相同；负号表示预先假设的指向与实际的指向相反。在运算过程中，应连同负号代入其他方程继续求解。
(5)讨论和校核计算结果。
在求出未知量后，对求解的力学物理量的含义进行讨论，对解的正确性进行校核是必要的，特别是对较复杂的平衡问题。
3.7一般物体的平衡
在工程中考虑物体平衡时，除上面所介绍的力之外，物体还要受到摩擦力的作用。摩擦在自然界中是最普遍存在的现象之一。
由两物体在接触面作相对滑动或具有相对滑动趋势时所产生的摩擦，称为滑动摩擦。
滑动摩擦按接触面处的相对运动是否存在，分为如下两类。
1.静滑动摩擦
两物体接触面间具有相对滑动趋势时的摩擦，称为静滑动摩擦。
大量实验证明，最大静摩擦力的方向与物体相对滑动趋势的方向相反，大小与接触面法向反力(也称为正压力)FN的大小成正比，即Fmax=μN。
式中，比例常数μ称为静摩擦系数，μ的大小与两接触物体的材料及表面情况(粗糙度、干湿度、温度等)有关，而与接触面积的大小无关，它由实验测定。
2.动滑动摩擦
两物体间相对滑动时的摩擦，称为动滑动摩擦，简称动摩擦。此时，出现的阻碍物体滑动的力，称为动滑动摩擦力。
大量实验证明，动摩擦力的方向与物体相对滑动的方向相反，大小与接触面法向反力(也称为正压力)FN的大小成正比，即。
式中，比例常数μ称为动摩擦系数，μ的大小除了与两接触物体的材料及表面情况(粗糙度、干湿度、温度等)有关，还与两物体的相对速度有关。
3.8小结
(1)力对刚体的作用效果应是使刚体的运动状态发生改变(当然这包括移动和转动)，其中力对刚体的移动效果可用力矢来度量；而力对刚体的转动效果可用力对点的矩(也称之为力矩)来度量。
(2)力矩有以下性质。
①力对点之矩不仅取决于力的大小，而且还与力对点的垂直距离有关，也就是与矩心有关。当矩心的位置发生改变时，力矩随之发生变化。
②当力的大小等于0或力通过作用线(矩心)时，力矩等于0。
③力对任意一点之矩，不会因该力沿其作用线的移动而发生变化，因为此时力的大小和力臂未发生改变。
④互相平衡的两个力对同一点的力矩的代数和等于0，即平衡力对同一点的力矩为0。
⑤平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和，称为合力矩定理。
⑥力矩的方向符合右手定则。
(3)力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用面的方向称为力偶的三要素。力偶与力矩不同，它具有以下独特的性质。
①力偶无合力，即力偶不能与一个力等效，这是力偶的一个特点，也说明力偶是一个基本的力学量。因此，力偶也不能与一个力平衡。力偶在任何坐标轴上的投影为0，对任意一点之矩等于它的力偶矩。
②力偶对于作用面内任意一点之矩与矩心位置无关，恒等于力偶矩；因此力偶对于物体的效应用力偶矩来度量，在平面问题中它是个代数和。
③作用在同一平面内的两个力偶，若其力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶彼此等效。
④在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，力偶可以在其作用面内任意转移；或同时改变力和力偶臂的大小，而不改变它对刚体的作用效果。
⑤在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，力偶可以从一个平面移到另一个平面上去，而不改变它对刚体的作用效应。
⑥作用在刚体上的力，可以平行平移到任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力对新作用点之矩。
称为平面任意力系的平衡方程。
(5)解平面力系平衡问题的方法和步骤如下：
①首先弄清题意，明确要求，正确选择研究对象；②分析研究对象的受力情况并画出受力图；③选取坐标轴，列平衡方程；④解方程，求未知量；⑤讨论和校核计算结果。
(6)滑动摩擦按接触面处的相对运动是否存在，分为静滑动摩擦和动滑动摩擦两类。
思考与习题
31某平面力系向A、B两点简化的主矩皆为0，此力系简化的最终结果是一个力吗？可能是一个力偶吗？可能平衡吗？
32摆锤受重力FG，其重心悬挂点O的距离为l。试求在图315所示3个位置时，力FG对O点之矩。
33图316所示是高炉上料斜桥示意图。设A和B为固定铰，D为中间铰，料车对斜桥的总压力为F，斜桥连同轨道受总重力为FG，立柱BD重力不计，几何尺寸见图3-16。试求A和B支座的反力。
34如图317所示，构件由AC和CD组成，滑轮B上挂一重物，其所受重力为FG=10000N，不计各杆和滑轮的重量。求支座A处的反力和CD杆所受的力。
35如图318所示，当飞机稳定航行时，所有作用在它上面的力必须相互平衡。
已知飞机所受重力为FG=30000N，螺旋桨的牵引力为4000N。飞机的尺寸为a=0.2m，b=0.1m，c=0.05m。求阻力、机翼升力和尾部的升力。
36如图319所示，液压式汽车起重机全部固定部分所受重力为60000N，旋转部分所受重力为20000N，a=1.4m，b=0.4m，l1=1.85m，l2=1.4m。试求：当R=3m，起吊重量为50000N时，支撑A、B所受地面的支承反力。
37制动器的构造简图如图320所示。已知制动轮与制动块之间的静摩擦系数为f，鼓轮上挂一重物，所受重力为FG。求制动所需要的最小力F1。
