动力学研究的问题相当广泛，但是基本问题可归结为两大类：(1)已知物体的运动情况，求作用于物体上的力；(2)已知作用于物体上的力，求物体的运动情况。在工程实际中所遇到的动力学问题，往往比较复杂，涉及的知识和内容太多；因此本章主要介绍动力学基本方程、质点的微分方程、刚体的定轴转动微分方程和质点的动能定理，为继续深造和学习专业知识奠定基础。
11.1动力学的基本方程
11.1.1动力学的基本定律
动力学的基本定律是在对机械运动进行大量观察和实验的基础上建立起来的。这些定律是着名的物理学家牛顿于1687年在总结了前人研究成果的基础上提出的，通常称之为牛顿运动三定律。这3条基本定律是解决问题的基础和钥匙，也是古典力学的核心内容。
1.第一定律
任何质点如不受外力作用，则将保持其原来静止的或匀速直线运动的状态。
这个定律说明，任何物体都具有保持静止或匀速直线运动状态的特性，物体的这种保持运动状态不变的固有属性称为惯性，而匀速直线运动也称为惯性运动；所以这一定律又称为惯性定律。
另一方面，这个定律也说明质点受到其他物体的作用时，该质点要改变静止或匀速直线运动的状态，即力是改变质点运动状态的原因。
2.第二定律
质点受力的作用时所获得加速度的大小与作用力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。
如果用m表示质点的质量，F和a分别表示作用于质点上的力和质点的加速度，则这个定律的矢量形式为方程(111)表示质量、力和加速度三者之间的关系，称为动力学的基本方程，是导出其他动力学方程的出发点。若质点同时受几个力的作用，则式(111)中力应理解为这些力的合力。式(111)也是质点系及刚体动力学问题分析的基本依据。
这个定律给出了质点运动的加速度与其所受力之间的瞬时关系，说明作用力并不直接决定质点的速度，力对质点运动的影响是通过加速度表现出来的，速度的方向可完全不同于作用力的方向。这一点在学习和分析问题时，尤其应当注意。
同时，这个定律说明质点的加速度不仅取决于力，而且与质点的质量有关。质量是物体惯性大小的量度。由于平动物体也可以看作是质点，所以质量也是平动物体惯性大小的量度。应当注意的是，质量和重量是两个根本不同的物理量，在应用和学习时应加以区别。
牛顿第二定律中物理量的单位有两种，一是国际单位制，在国际单位制中力的单位是牛顿(N)，质量的单位是千克(kg)，而加速度的单位是米每秒的平方(m/s2)；二是工程单位制，在工程单位制中力的单位是公斤力·米/秒2，通常也称为工程质量单位。
3.第三牛顿定律
对应每个作用力必有一个与其大小相等、方向相反且在同一直线上的反作用力。
牛顿第三定律也称之为作用与反作用定律，它说明两质点间的作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反、沿同一直线并分别作用在这两个质点上。它对运动着的物体仍然适用。
需要指出，牛顿定律对反映客观世界运动的规律有一定的局限性。当物体运动的速度极高而接近光速时，或研究微观粒子运动时，以牛顿定律为基础的古典力学就不再适用。
但近代科学实践已经证明，当研究对象——宏观物体——的速度远小于光速时，牛顿定律对一般工程中的实际问题是正确的，在工程技术中仍得到广泛应用。
在动力学中，把适用于牛顿定律的参考坐标系称为惯性参考系或基础坐标系。根据观察和实验证明，在大多数工程问题中，可以忽略地球自转的影响。因此，可以采用固连于地球，或相对于地球作匀速直线运动的参考系作为惯性参考系。如果考虑地球自转的影响，可把惯性参考系的原点选在地心，而使三个坐标轴指向三颗恒星。
11.1.2应注意的问题
(1)作用于质点上的力与质点的加速度是瞬时关系，即在解决问题时，只要某瞬时力(合力)作用于质点，则在该瞬时质点必有确定的加速度。若没有力(合力为0)作用，质点作惯性运动，这与第一定律相符合。
(2)力与加速度的方向一致，即力和加速度间的关系是向量关系，也就是说无论质点的运动方向如何(做直线运动或曲线运动)，加速度的方向始终和力(合力)的方向相同。
(3)质量是物体或质点惯性大小的量度。相同的力作用在两个质点上，质量大的加速度小，质量小的加速度大。例如，重载的车改变其运动较轻载的难，就是这个道理。
(4)质量和重量是两个截然不同的物理量。重力是地球对物体或质点的作用力，它是引力。同一物体或质点在地球上的不同地点，可以有不同的重力。而质量是物体或质点惯性大小的量度，它不会因地而异。但二者又有必然的联系，即它们之间是通过重力加速度联系在一起的，重力加速度在地球的不同地方，其大小是不一样的，一般取g=9.8m/s2。
(5)质点的动力学基本方程只适用于惯性参考系。对于非惯性参考系质点的动力学方程有不同的表达式。
(6)力学单位制与工程单位制之间的关系为1公斤力=9.8牛顿。
11.2质点的微分方程
由于质点运动的加速度是速度对时间的一阶导数，所以牛顿第二定律的表达式故动力学基本方程也叫质点运动微分方程。
11.2.1质点运动微分方程的投影式
1.直角坐标投影
设质点M在xOy坐标系内作曲线运动，将公式(111)投影到x、y坐标轴上，得式中，——作用在质点上的合力F在x轴上的投影；——作用在质点上的合力F在y轴上的投影；——加速度在x轴上的投影；——加速度在y轴上的投影。
2.自然坐标投影
设质点的轨迹为平面曲线，如图111所示。将公式(111)投影到轨迹的切线和法线上，即自然坐标轴上，得式中，——力F在切线τ轴上的投影；——力F在切线n轴上的投影；——质点的切向加速度；——质点的法向加速度；——质点沿已知轨迹的弧坐标；——运动轨迹在M处的曲率半径。
11.2.2质点动力学第一类基本问题
这类问题是已知质点的运动规律，求作用在质点上的力。从数学意义上讲，这也就是求导数的过程。将求出的加速度代入质点运动微分方程求作用在质点或物体上的力。
例11.1电梯以匀加速度a上升，如图112所示。电梯的重量为FG1，在电梯地板上放重物FG2，求绳索所受的张力和重物对地板的压力。
解(1)求绳索所受的张力。
①确定对象：重物和电梯。
②受力分析：在已知和确定的研究对象中，作用力有电梯重力FG1、重物的重力FG2和绳索的拉力FT，如图112所示。
③运动分析：电梯及重物一起以加速度a上升。
④列微分方程，求未知物理量。
选取如图112所示的坐标系，由公式(113)知。
(2)求重物对地板的压力。
①确定对象：重物。
②受力分析：重力FG2，地板的约束反力FN。
③运动分析：重物仍以加速度a上升。
④列微分方程，求未知物理量，即。
由牛顿第三定律知，重物对地板的压力为。
例11.2研磨细矿石所用的球磨机可简化为如图113所示。当圆筒绕水平纵轴O转动时，带动筒内的许多钢球一起运动，当钢球转到一定角度时，开始和筒壁脱离而沿抛物线下落，借以打击矿石。打击力与角有关，且已知=50°40时，可以得到最大的打击力。设圆筒内径d=3.2m，问圆筒转动的转速n应为多大？
解①确定对象：钢球M。
②受力分析：重力FG、法向反力FN、摩擦力F，如图113所示。
③运动分析：钢球M在脱离筒壁之前做匀速圆周运动，其加速度即法向加速度。
④列微分方程，求未知物理量，即。
钢球M脱离筒壁条件是FN=0，将其代入式。
11.2.3质点动力学第二类基本问题
这类问题是已知作用于质点上的力，求质点的运动情况。由于力往往是时间、速度、位置的函数；因此从数学意义上说求解第二类问题需要将微分方程式进行积分，并要事先给出运动的初始条件。此类问题由于涉及高等数学的有关知识，与第一类问题相比难度大得多。
所谓初始条件，就是质点的初位置和初速度。如采用定积分形式进行解题，则需要由初始条件决定其积分限。有些时候由于题目给定的条件带有隐蔽性，其初始条件的确定十分重要。
例11.3质量为m的质点在已知力F=F0sint的作用下沿x轴运动，在初瞬时t=0，x=x0，vx=v0。求该质点的运动。
解质点的微分方程为积分后，得由此可得dt代入式(119)，并分离变量得。
式(1110)表明，质点的运动可视为由两个部分组成，一部分是匀速运动，另一部分是简谐运动。
例11.4垂直于地面向上发射一物体，求该物体在地球引力作用下的运动速度，并求第二宇宙速度。不计空气阻力及地球自转的影响。
解选地心O为坐标原点，x轴垂直向上，如图114所示。将物体视为质点，根据万有引力定律，它在任意位置x处受到的地球引力F的方向指向地心O，大小为。
式中，G0是万有引力恒量，为常数；m为物体的质量，M为地球的质量；x为物体至地心的距离。由于物体在地球表面时所受到的引力即为自身的重力；故有。
由此可知，物体的微分方程为。(如设物体在地面开始发射的速度为v0，在空中任意位置x处的速度为v，则对式(1112)进行积分，得。
所以，物体在任意位置时的速度为可见物体的速度将随x的增加减小。
则物体在某一位置x=R+H时，速度将减小为0，此后物体将往回落下，H为以初速v0向上发射所达到的最大高度。将x=R+H及v=0代入式(1113)，可得。
则不论x为多大，甚至为无限大时，速度v都不会减小为0。因此，欲使物体向上发射出去而一去不复返时，必须具有的最小初速度为。
将g和R的数值代入(R=6370km)式(1114)，得。
例11.5不前进的潜水艇受到较小的沉力F作用而向水底下沉。在沉力不大时，水的阻力可视为与下沉速度的一次方成正比，并等于KAv，其中K为比例常数，A为潜水艇的水平投影面积，v为下沉速度。如当t=0时，v=0，求下沉速度及在时间t内潜水艇下沉的路程L。
解取潜水艇为研究对象，在铅垂方向它受沉力F和反向阻力FR作用，且FR=KAv，此时潜水艇铅垂向下运动，取其初始位置为坐标原点，x轴铅垂指向下。
列微分方程，即。
式中，m为潜水艇的质量。
分离变量积分，得。
11.3刚体的定轴转动微分方程设有一刚体绕定轴z转动，如图115所示。在刚体内任取一质点Mi，其质量为mi，该点至转动轴z的距离为ri，当刚体以角速度转动时，则该质点速度vi的大小为ri，它对于转轴z的动量矩为。
将组成刚体的所有的质点对于转轴z的动量矩相加，即得整个刚体对于转轴z的动量矩为。
式中称为刚体对于z轴的转动惯量，单位是千克·米。这表明，绕定轴转动的刚体对于转动轴的动量矩等于刚体对于转动轴的转动惯量与其角速度的积，Jz又称角动量。
表示所有外力对于转动轴z之矩的代数和，由质点系的动量矩定理得。
式(1118)表明，刚体对于转轴的转动惯量与其角速度的积，等于作用在刚体上的所有外力对于转轴之矩的代数和，这就是刚体的定轴转动微分方程。
式(1118)中的转动惯量是刚体的一个重要的物理特征，它反映了刚体对于转动的惯性；因此这个物理量是刚体在转动时惯性的度量。为了方便起见，有时将转动惯量写成。
式中，m为刚体的质量；ρ是相当于长度的一个量，称为回转半径(或惯量半径)。设刚体的质量都集中于与转轴z相距为ρ的点上，则此集中的质量对于z轴的转动惯量与原有刚体的转动惯量相同。
与质点动力学一样，应用刚体的定轴转动微分方程可解决转动刚体动力学的两类问题，即已知刚体的转动规律求作用于刚体的外力矩或外力，或已知作用于刚体的外力矩求刚体的转动规律。应该指出，轴承反力对于转动之矩恒等于0，它在微分方程中不出现；因此不能求得。这种第一类问题将在以后的学习中加以讨论。
例11.6图116所示的复摆是由一重为FG的刚体悬挂在固定水平轴上构成的，它对于转轴z的转动惯量为Jz。求该复摆作微幅摆动时的运动规律。
解作用于摆的外力有重力FG和转轴的约束反力，但由于约束反力均通过转轴，其力矩恒等于0；因此外力对于转轴z之矩为Mez=-FGasinφ。
式中，负号表示力矩的正负与偏角φ相反。
由刚体的定轴转动微分方程(式(1118))得。
当刚体作微幅摆动时，φ很小，可取因而式中，A是角振幅；是初相伴，可由运动的初始条件决定。
可见，复摆的微幅振动是简谐振动，摆动的周期为。
如果测出其转动惯量，则其周期可求得。
