图627为悬臂梁。在纵向对称面内荷载F的作用下发生了平面弯曲变形，其轴线由直线变成轴向对称面内的一条光滑连续的平面曲线，称之为梁的挠曲线。
若取x轴与梁变形前的轴线重合，y轴垂直向上，xy平面是梁的轴向对称面，于是梁的挠曲线可表示为式(628)称为挠曲线方程或挠度方程。
6.7.3挠度与转角
当梁弯曲变形时，梁的每一个横截面，如图627所示的离原点为x的截面，有线位移和角位移2个位移移量。
1.线位移——挠度
横截面形心在垂直梁轴方向的位移——线位移，称为挠度，也就是图627中的y。
在图627所示坐标系中，挠度y向上为正。实际上由于轴线在中性层上长度不变；故横截面形心产生垂直位移时，还伴有轴线方向的位移，但因其极小，略去不计。
2.角位移——转角
横截面相对其原位置转过的角度，称为截面的转角，用表示。根据平面假设，变形后横截面仍垂直于挠曲线，故角等于挠曲线在该点的切线与x轴的夹角。因为是小变形，所以可得。
在图627所示的坐标系下，转角逆时针为正，反之为负。
6.7.4挠曲线的微分方程在弯曲的情况下，弯矩与曲率间的关系为式(624)。横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，式(624)只代表了弯矩对弯曲变形的影响。对于跨度大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以省略，因此式(624)可以作为横力弯曲变形的基本方程。这时，皆为x的函数。
如图628所示的微分弧段ds，并把它放大，如图629所示。ds两端法线的交点即为曲率中心，并确定了曲率半径ρ。显然。
式中，取绝对值是因为未考虑dds的符号。若弯曲为正，则挠曲线向下凸出，也就是如图629所示的情况。在选定的坐标系中(y向上为正)，随着弧长s的增加，也增加，即正增量ds对应的d也是正的。这样，考虑dds符号时，式(630)变为。
利用高等数学有关知识，并考虑到这就是挠曲线的微分方程，它适用于弯曲的任意情况，是非线性的。
dx很小的情况下，式(633)可写为这是挠曲线的近似微分方程。
例6.7等截面简支梁在均布荷载作用下，已知EI为常数，如图630所示，试求其最大挠度及截面A的转角。
解首先以梁的左端为原点，建立Oxy坐标系，如图630所示。
(1)建立弯矩方程，即。
(2)考虑到本题简支梁是刚度梁，EI为常数；故将式(635)代入公式(634)，得挠曲线微分方程为。
(3)利用边界条件确定其积分常数，得。
(4)将C1、C2代入式(636)和(637)，得其挠角和挠度方程为。
(5)求指定截面的转角及全梁最大挠度。
将x=0代入式(638)，可得A截面的转角为方向为顺时针。
由于结构及荷载对称；所以梁的最大挠度必在中间处，用x=l2代入式(639)，得。
6.8梁的设计
梁的挠度和转角与荷载的大小、跨度、支座情况、截面形状与尺寸及材料等有关；因此在设计梁时，要提高弯曲刚度，必须从以下几个方面考虑。
1.提高梁的抗弯刚度
梁的抗弯刚度EI包括弹性模量和截面惯性矩两个因素。由于碳钢、合金钢的弹性模量E很接近，所以采用高强度优质钢代替普通钢的意义不大。故应当选择合理的截面形状，以加大惯性矩，以使截面尽可能分布在离中性轴较远处。例如，采用薄臂工字形、箱形及空心轴等截面形状较为合理。
2.尽量减小梁的跨度
因为梁的挠度和转角与梁跨度的几次幂成正比；因此如能设法缩短梁的跨度，将能显着地减小其挠度和转角的值。
3.增加支座
增加支座，可以大大提高梁的刚度。例如，简支梁中间加支座，悬臂梁在自由端加支座等。当然，增加支座后，静定梁将变成超静定梁。
4.改善受力情况
在设计梁的时候，尽量使弯矩值减小。例如，悬臂梁在自由端受集中力作用，考虑能否将集中力F变成均布载荷q，这样，自由端的位移将明显减小。简支梁上的集中力能否分散成为几个力或分布载荷，这样也会减小梁的挠度。
6.9小结
(1)杆件受作用面垂直于其轴线的力偶作用，发生横截面绕轴线相对转动的变形，称为杆件的扭转。
(2)扭矩的计算公式为式(61)和(62)。
(3)圆轴扭转的基本假设如下：
①圆轴扭转变形前的横截面在变形后保持为平面，并且垂直于轴线，其大小和形状不变，且半径仍为直线；②变形后相邻横截面间的距离不变，所以圆轴扭转时各横截面如同刚性平面一样，仅在原处绕轴线转动。
计算公式为式(63)~(66)。
对于直径为D的圆截面，Ip和Wp的计算公式为。
对于空心圆截面，若取内外径之比为dD=，则Ip和Wp的计算公式为式(612)和式(613)。
圆轴的最大工作应力不能超过材料的许用切应力[τ]。等值圆轴的最大切应力发生在最大扭矩截面的边缘，其强度条件为式(614)；各段扭矩不等的阶梯轴的强度条件可表示为式(615)。
(4)对于长为l，扭矩MN为常值的等截面圆轴，两端截面间的相对扭转角为；对于阶梯轴或各段扭矩不等的轴，应分段进行求解，即。
(5)梁发生弯曲的特点：作用于这些杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使变形前的轴线在变形后成为曲线。
若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为x的函数(公式(618))。
若作用在梁上的荷载是连续的，即无集中力和集中力偶(包括约束反力)作用，则剪力和弯矩沿梁长方向的变化可由-个函数描述；若作用在梁上的外力有突变，即有集中力或集中力偶(包括约束反力)作用，则在两个集中力或集中力偶作用点之间的剪力和弯矩方程可用一个函数描述，这时应分段建立剪力和弯矩方程。
若将集中力、集中力偶的作用点及分布荷载的起点和终点处两侧的截面称为控制面，这些控制面即为剪力和弯矩方程的定义区间的端点。根据控制面间的情况，决定应分几段建立剪力和弯矩方程。
(6)梁的弯曲正应力强度条件可由公式(626)给出。对于等截面梁，公式变为式(627)。这两个公式适用于抗拉和抗压强相同的材料，而对抗拉和抗压不同的材料则要求σ+max[σ]+，σ-max[σ]-。
梁的弯曲切应力强度条件为τmax[τ]。对于等截面梁，最大弯曲切应力发生在剪力最大的截面处，一般位于该截面的中性轴上。
(7)梁的挠曲线方程或挠度方程为式(628)。
思考与习题
61试判断下列结论是否正确：
(1)平面弯曲时，中性线一定通过横截面形心；(2)平面弯曲时，中性轴上点的弯曲正应力等于0；(3)平面弯曲时，中性轴上点的弯曲切应力等于0；(4)平面弯曲时，中性轴必垂直于荷载作用面；(5)最大弯曲正应力一定发生在弯矩值最大的横截面上。62把直径d=1mm的钢丝绕在直径为2m的卷筒上，试计算该钢丝中产生的最大应力。设E=200GPa。
63实心轴和空心轴通过一个离合器连接在一起，如图631所示。已知轴的转速n=120r/min，传递的功率P=14kW，材料的许用切应力[τ]=60MPa，空心轴的=0.8，试确定实心轴的直径d1和空心轴的外径D、内径d并比较两轴横截面积。
64图632是两人同时操作的铰车，若两人加在手柄上的力都是F=200N，已知轴的许用应力[τ]=40MN/m2，试按强度条件初步估算AB轴的直径，并确定最大起重量。
65如图633所示，驾驶盘的直径D=520mm，加在盘上的力F=300N，盘下面竖轴所用材料的许用应力[τ]=60MPa。试求：
(1)当竖轴为实心时，试设计轴的直径；(2)如果采用空心轴，且内外径之比=0.8，试设计轴的外径D；(3)比较实心轴和空心轴的重量。
66图634所示轧辊的直径D=1000mm，l=300mm，b=400mm，轧辊材料的许用应力[σ]=100MPa，试求轧辊能承受的最大轧制力。
67当F直接作用在梁AB的中点时，梁内的最大正应力超过许用值的30%，为了消除过载现象，配置了如图635所示的辅助梁CD，试求辅助梁的跨度a，已知l=6m。
68如图636所示，简支梁AB受均布载荷q和集中力偶M=ql2作用，试建立此梁的剪力和弯矩方程。
69图637(a)、(b)所示的梁中，EI为常数。用积分法求其挠曲线方程及自由端的挠度和挠角。
610图638所示的简支梁是齿轮传动轴的计算简图。试列出它的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
