复数的乘法
【教学目标】
1．掌握复数的代数形式的乘法运算法则，能熟练地进行复数代数形式的乘法运算；2．理解复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律；3．知道复数的乘法是同复数的积，理解复数集C中正整数幂的运算律，掌握i的乘法运算性质。
【教学过程】
1．引入新课
前面学习了复数的代数形式的加减法，其运算法则与两个多项式相加减的办法一致。那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进行呢？
教学中，可让学生先按此办法计算，然后将同学们运算所得结果与教科书的规定对照，从而引入新课。
2．提出复数的代数形式的运算法则：
（a＋bi）（c＋di）=（ac-bd）＋（ad＋bc）i．指出这一法则也是一种规定，由于它与多项式乘法运算法则一致，因此，不需要记忆这个公式。
3．引导学生证明复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律。
4．讲解例1、例2
例1求（a＋bi）（a-bi）．
此例的解答可由学生自己完成。然后，组织讨论，由学生自己归纳总结出共轭复数的一个重要性质：z·z=|z|2=|z|2。
教学过程中，也可以引导学生用以上公式来证明：|z1＋z2|2＋|z1-z2|2=2|z1|2＋2|z2|2．例2计算（1-2i）（3＋4i）（-2＋i）．教学中，可将学生分成三组分别按不同的运算顺序进行计算。比如说第一组按[（1-2i）（3＋4i）］（-2＋i）进行计算；第二组按（1-2i）[（3＋4i）（-2＋i）］进行计算。讨论其计算结果一致说明了什么问题？
5．引导学生得出复数集中正整数幂的运算律以及i的乘方性质教学过程中，可根据学生的情况，考虑是否将这些结论推广到自然数幂或整数幂。
6．讲解例3
例3设ω=-12＋32i，求证：（1）1＋ω＋ω2=0；（2）ω3=1
讲此例时，应向学生指出：（1）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立；（2）复数的混合运算也是乘方，乘除，最后加减，有括号应先处括号里面的。
此后引导学生思考：（1）课本中关于（2）小题的注解；（2）如果ω=12-32i，则1＋ω＋ω2=0与ω3=1还成立吗？
7．课堂练习
课本练习第1、2、3题。
8．归纳总结
（1）学生填空：
（a＋bi）（a-bi）＝；z·z＝．
设n∈N＋，则i4n＝，i4n＋1＝，i4n＋2＝，i4N＋3＝．设ω=-12＋32i（或ω=-12-32i），则1＋ω＋ω2=，ω3=．（2）对复数乘法、乘方的有关运算进行小结。
9．作业
课本习题5.4第1、3题。
【习题精选】
一、选择题
1．复数|z|=1，且|z|≠±1，那么z-1z＋1是．A.实数B.纯虚数C.非纯虚数D.复数
2．已知z和z互为共轭复数，且z=12＋32i，zn=z，则（k∈Z）等于．A.3k-1B.12k-1 C.6k-1 D.6k＋1
3．若复数z满足|z|-z=101-2i，则z等于．A.-3＋4iB.-3-4iC.3-4iD.3＋4i
4．复数-12＋32i的平方根是．A.-12＋32i和-12-32iB.-32＋12i和-32-12iC.12＋32i和-12-32iD.32＋12i和-32-12i
5．若复数z满足|z|=|z＋2＋2i|，则|z-1＋i|的最小值是．A.4B.22C.2D.2
参考答案
1．B 2．C 3．D 4．C 5．D二、填空题
1．z=（1-i）3，则z·z=．
2．f（z）=z2-z＋1z2＋z＋1，则f（1-i）=．
3．复数z满足|z＋1|=|z-i|=1，则z=．
4．在复平面上，复数i，1，4＋2i的对应点分别为A，B，C，作平行四边形ABCD，则此四边形对角线BD的长度为．参考答案
1．82．35-65i3．0或-1＋i4．13
三、解答题
1．已知z∈C，且|z-2|=1，求|z＋2＋5i|的最大值和最小值。
2．若ω=-12＋32i，求S=1＋ω＋ω2＋…＋ωn的值。
3．已知z满足log12|z-1|＋1|z-1|-2≤-1（z∈C）
求复数z在复平面内对应点Z所围成区域的面积。
参考答案
1．解：由|z-2|=1知，z在复平面上的对应点在以A（2，0）为圆心，1为半径的圆A上，|z＋2＋5i|=|z-（-2-5i）|表示圆A上的点到点B（-2，-5）的距离，由几何知识易得|z＋2＋5i|max=|AB|＋1=41＋1
z＋2＋5i|mix=|AB|-1=41-1
2．解：S=1-ωn＋11-ω
∴S=1当n=3kk∈Z时
12＋32i当n=3k＋1k∈Z时
0当n=3k-1k∈Z时
3．由已知，得|z-1|-2＞0|z-1|＋1|z-1|-2≥2|z-1|＞2|z-1|≤5
∴S=π（52-22）=21π
