自然辩证法规律告诉我们，新生事物是建立在旧事物基础上的，新旧事物之间肯定存在着某些关系，新事物是从旧事物数量变化的不断积累中产生的。教育领域的素质教育和创新能力培养也不例外，课堂教育方式的选择和学生学习习惯的形成是决定学生自我发展的一个十分重要的基础。凡事都有一定的联系性，异想天开的创新固然是好事，但认为所有创新都只能是从无到有，也是不切实际的幻想，新事物的诞生必有旧事物的量的积累为基础。像牛顿这样伟大的科学家，也把自己的巨大成就认作是站在巨人的肩膀上摘得的果实而已，即只是在前人工作的基础上的进一步的发展。
数学学科作为人类理性思维的高度结晶，不仅在于它本身是一门基础性学科，更在于它是进行科学和工程问题研究的基石和工具，更重要的是它的理性思维方式是“开发智力”、“训练思维”的主要手段。应该说，数学学科从它自身的发展规律来看，就是不断自我创新、不断应用的学科，无论在过去、当代还是将来，它都是一种高科技。数学教育之所以是基础，就在于其应用的广泛性和普遍性。现实世界中数学无所不在，可以说它存在于几乎所有的理工学科和日常生活之中。
从另一方面来看，数学学科的每一分支的发展都很难预测其潜在的应用性，现在看来还没有什么用的东西，可能不久就成为另一新学科的理论增长点，有的数学研究成果也许可能会过很长时间才能找到实际应用的例子。另外，作为现代决策的依据，在论证问题时，无论怎么多的理由都不如数据来得可靠和有说服力，所以数学在当代社会生活中的重要性是不可否认的。
下面我们就培养学生创新能力方面来探讨数学教学中应着重注意的一些问题。
一、对数学教育之理解
1.问题
在有形的教学实践和无形的教育导向问题上，由于考研因素的影响，实施大学生素质教育在导向上自然而然地发生了偏差，大学教学仍如一切为高考的中学教学那样。另一方面，虽然高校有了更多的行政自主权力，可是在很多人的思想观念中仍延续计划经济时代的模式和惯性，对所有学生采用整齐划一的培养方式，极大地阻碍了学生个性的发展，抑制了个体学生的主观能动性。在思想行动中如果处于这样的潜意识指导，那么在教学实践中如何把握素质教育就很难说了，对教师的教学质量和效果评价就不可避免地会发生偏差。如考查教师是否按教学大纲和教材要求来传授知识，是否有详尽的教案；考查学生则是要求学生在课堂上做笔记，做会多少题型，记下多少解题方法与技巧等。由于采用题海战术，学生把劲使在做题和死记硬背上，整个地将活生生的人装到一个模子里。在把学生教死了的同时也把教师自己教死了，还谈什么素质教育和创新教育？至于用电子教案上课，课堂虽很花哨，但这一切只是表面现象，事实上越是投机取巧的人越会这样做，导致的结果是让一批华而不实、投机取巧者成了优秀者。这种长期的应试教育下的数学教学，较多地让学生做习题和在课堂表现，却较少让学生想问题和独立思考，较少在思维层面上培养数学素养和自我创新能力。为了应付考试，教师在教学活动中，往往先把自己变成“类型题”的有效解题者和熟练传递者，再努力把学生也变成“类型题”的有效解题者和熟练操作工。长期这样应试教育的结果是中学输送来的“好学生”，很快成为知识的存储机器，能做大学数学中的习题，但却不大善于“学数学”。
2.分析
虽然很多事情我们无能为力，但有些事我们还是可以避免的。数学教学除了传授数学知识外，其实更重要的是教会学生怎样“数学地思考问题”，而不是停留于那些表面现象。所谓数学地思考问题，在表象上，反而显得不太成熟。如将Hilbert、华罗庚等这样杰出的数学家也会经常在讲台上被意外问题中断，这并不是他们准备不够，这时候正是他们思维活跃的时候，问题的预设和即时的考虑都已突破了原有的框架，这时他们对问题的思考方式正体现了数学研究者是怎样数学地思考问题的。所以课堂上的挂堂并不可怕，也许这时的思维方式才不是僵硬的而恰恰是精华所在，这种情况的另一好处是能能动地激发学生解决问题的迫切感。当然，这并不是说在一些简单问题上可以为自己的挂堂找借口。
其次，学习的目的不在于会做题和掌握一些做题技巧而已，而是让他们了解数学的内在思想、内在连贯机制及数学所蕴含的科学文化，从本质上提高其整体数学的素质修养，从而在考虑客观实际问题时就能激发他们的创造力和智慧，使其有所创新、有所开拓、有所作为。因此，在数学教学中，须努力培养一种用严谨、科学、积极而又能动的态度探究客观世界出现的各种现象的数学素质。但初学数学的学生对数学知识的外延的认识肯定是不清楚的，更有一部分学生只关心数学考试成绩能否及格，而只有站得高的学生才会明白教师教给他们的知识当中哪些是真正有用的。开设数学课的目的不是为了让学生记住多少定理、公式，学到多少解题技巧，而是要让他们掌握数学科学的精髓，理解问题的本质；开阔学生的视野，培养观察问题的敏锐力，能够看得更高、看得更远，能够学以致用。所以数学教学中具有主导地位的教师，其最最重要的是把握讲解的内容的正确性和知识传播的科学性，只有在对知识点有相当深度和广度（外延）的理解的基础上，作深层次的讲解和发挥，才可视为数学教学的创新工作。所以，必然前提是任课教师有较高的数学研究功底和数学文化修养，数学教育发展的必然趋势必定要求教师进行数学研究，即做一个数学地思考问题的数学教育者。
二、朴实的数学思想——重组创新
所谓知识重组创新，是指为了实现一定的创造性目的，打乱原有事物的知识结构，科学地按事物内在的各种必然关系重新将各部分要素连接成整体。重组事物要素之间的过程可以通过因果、相似、共性等逻辑关系联系在一起，从而产生具有创造功能的新思想、新概念、新知识、新成果，重组创新是知识创新的主要源泉之一。
正像所有的文字都出于一本字典一样，所谓的文章无非是字典中的文字的一种特定组合而已，无论多么精彩和优秀的文章都不例外。可是字和单词的随机组合绝大部分是无用的，只有极少数的组合才成为文章，其中好文章则更少。从数学的角度看这种有序组合（称作排列数）虽然有限，但却又是几近无限大。那么，从中怎样才能写出（组合出）好文章呢？
这就需要文学修养。用到数学或其他学科上也一样，新思想、新理论并不是空穴来风，很多时候的创新工作也只是搭几座具有内在联系的新桥而已，但是这工作并不简单。
着名的法国数学家雅克·阿达玛说过：“数学领域及其他领域中的发现或发明，都是以新思想重新组合的新方式来进行的，这种组合的数目是无穷无尽的，其中绝大多数没有什么用处，只有极少部分才是有效的。”日本心理学家恩田彰说：“创造就是把已知的知识和经验重新组合，产生具有新价值的东西而已。”
在数学或其他领域中，这种组合无穷无尽，但绝大部分却是无用的东西。所以我们不能盲目地做这样的排列，因为这种重组是无穷的，只有有用的排列才是有意义的。于是新的、科学的知识重组就成为我们为什么要学习的真正原因和动力，即用经验和科学的方法对已有的知识组装出有效、有意义、有价值的新成果来，这就是我们学习和研究的真正目的所在。
三、知识结构的相互交叉性
1.问题
我们习以为常的观点是将数学知识分成很多知识点，并自觉地按照这些分出的知识点相应地制造出试题库；老师就照本宣科地传授书本知识点，讲解知识点里的模拟题，为学生考试做准备。对于学生，学习的目的很大程度上也只有一个，那就是为了考试。于是教、学两方之间用不友好的、敌对的考试方式来相互沟通，即教师用考来检验学生对知识点的掌握程度，而学生不管是否愿意，只能用分数显示与别人的能力差别，甚至有时会决定命运。在这种思想的指导下，数学知识被单纯地看成一线串成的枯燥的概念、理论和例题而已。
2.分析
其实，数学的概念及其理论的基础性，只是它的一个方面而已，用现代数学教学思想来说，数学只是基础课教学，学生只是获得初级的数学知识。鉴于数学的抽象性特点：它是一棵茂盛的大树，无处不交叉，无处不节外生枝。一个数学概念，包括了千万种示例；一个数学定理，能包含无穷的事例；一个例子，可以是一题多解；一个结论，往往是一个经得起千锤百炼的真理，可以普遍适用。这是数学的魅力所在。这也是学习数学的目的所在。在不同的学科、不同专业中都可以得到用武之地，不同的人都可以运用它来证明自己理论的正确性。
教科书上的文字排列只能是从上到下的，可是知识的交叉、复叠却是立体的、多维的，有时是不明显的。数学具有理性思维与推理方法的独特性，应当将其归于培养创新素质的最重要学科。良好的数学修养是启迪智慧的钥匙，是创造力和科学能动性的原创地，现代数学教学价值观远非一般专业教育能相提并论。于是它对数学教学人员的自身素质提出了更高的要求。
还应该指出的是我们目前的大学教育还是过分重视解题的技巧性训练，知识面不宽，以至只见树木，不见森林，从而客观地造成知识的重组创新和结构交叉的困难。
四、数学知识点上的启发
1.案例
犹如在高等数学课程中应用介值定理、中值定理来证明一类存在性问题，是各类数学考试（包括研究生入学的数学类考试）的重点对象，这部分数学知识对于工科学生来说，由于理论上训练有限，往往是学生最不易得分的，也是教师在课堂教学上必须处理的重点、难点内容之一。就高等数学内容来说，实质上只要掌握了零点定理和最简单的罗尔中值定理等基础知识，几乎很大一类存在性结论（包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理）及其中值定理的各种应用等存在性应用都可由此推出。但其中一个困难而重要的前提，也是解题的关键所在，即要证明必须构造出一个适当的辅助函数，而且这个辅助函数的构造并非唯一的。
问题是怎样来寻求一套较有效的方法来构造出这个“不定”的辅助函数呢？通常对这部分内容，教材和课堂上所给出的处理方法，给人的感觉是似乎只能意会而无法言传，只能用大量的例子和练习来培养一种直觉，经验性地构造出辅助函数。总之，其方法仍停留在直觉、感性认识上（拉格朗日中值定理的证明，只能通过辅助函数构造从几何意义上解释，没有几何意义，又如何说明之？），而不具有一般性。这对学生来说，就困难了，因为这里的问题的处理，须按逻辑需要重排，或因介绍方法欠缺，那些构造辅助函数的本质的关键思想已隐藏起来了，以至遇到较为复杂的构造辅助函数的问题，就不知道从何入手了。
2.分析
一方面，辅助函数构造似乎有些让人捉摸不定，可是如果利用不定积分和原函数知识来考虑，问题就变得毫不困难。这个辅助函数的构造实质上是与结论相关的一个原函数问题，我们用不定积分方法是不难得出辅助函数的。人们常说，退一步海阔天空，也许从知识的纵横交错关系中能获得有益的启示。书上的内容文字从某种逻辑角度只能是串行书写，而知识结构应是网状交错。教材上之所以在导数、微分之后来讲中值定理，也许出于以下两个原因：一是将中值定理作为导数的应用来介绍，另外是下文的罗必塔法则证明中需要中值定理的结论。其实，微分、积分是一对互逆运算，相互之间有着必然的联系，你中有我，我中有你。如果在讲了不定积分后，再来继续介绍微分中值定理，这个辅助函数问题也许更明了，原来它就是一个原函数问题。另一方面，如果换一个想法，也可以这样来寻求辅助函数问题：中值定理的结果是一个一阶微分等式，如果我们从微分方程的角度来考虑，解这个微分方程，它的解就是要找的辅助函数，一般很容易得到，往往只要用分离变量法就能解决。
如何提高学生的综合素质、培养他们的创新能力是一个很值得研究的课题，长期以来备受人们关注，说大点是关系到一代人的科研能力和整个科技实力的问题。
以上仅仅是从数学教育这个局部领域探讨一些有关事例，是不完全的观点，只不过是个人的一些看法和体会。只有在全社会范围内靠大家的共同努力、共同探索，才能建立更良好的激励创新的教育机制和人人为此目标奋斗的竞争氛围，把教育事业搞上去，把我们的国民综合素质提上去。
参考文献
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