对于为理工科的学生开设的大学物理，除应加强基本概念、规律、方法的教学外，还应建立一个以课堂教学为主、课内外相结合、教学相长的教学模式。着重培养学生的开放思维，给学生一个开放和动态的知识结构，引导学生学会运用物理思想和方法解决相关问题和疑点，激发学生学习物理的兴趣，培养学生自主学习的能力和创造性、对所学知识的运用能力和实际动手能力。可根据教学内容的进展设定专题小论文活动（如“角动量守恒应用专题”、“激光专题”等）。在每个学期给学生布置一到两次的每人一篇专题小论文任务作为平时的一次作业，鼓励学生借助学术期刊、科学杂志、五彩缤纷的网络资源和国家精品课程平台等展开全方位、立体化的自主学习，发掘潜能。学生按自己感兴趣的应用方向查阅文献、搜集资料，了解物理的原理、发展历史、最新应用和发展动态，撰写专题小论文或提出相关小制作方案。学生要在23周内利用课外时间完成任务。同时，通过学生对小论文的自评和老师对小论文的汇总及点评，增加学生间和师生间对所选专题应用的深度和广度，师生同时获得更多收获。
也可在课堂上结合教学内容，用几分钟的时间提供物理基础在实际生活中的最新应用信息，或在学期中安排高科技的物理基础专题介绍，让学生对物理的前沿应用及还待研究和解决的问题有所了解，增加学生对物理的兴趣和感性认识，激发学生的好奇心和探索精神。
此外，还可在教学环节中加插一题多解的电子版（选做）作业。对特定题目，有兴趣的学生可以提交电子版的作业。学生自己选择解题方法，设定版面分布，编写版面内容，设计动画步骤和效果，安排插图。这样的作业形式提高了学生运用计算机的能力，拓展了学生多方位创造和想像的空间，有利于学生个性和特长的发展，增强了学生自主学习的能动性和创造性。
三、针对理工科大学生的特点，优化物理教学方法、提高教学质量
鉴于对理工科学生在大一的下学期开设大学物理课，学生们还没有从高中学物理的方法和思维定式中完全过渡到大学物理教学中来。良好的开端是成功的一半。大学物理第一堂课的内容对学生今后的物理学习有重要的影响。在绪论课中应告知学生大学物理和中学物理的区别，学习大学物理的目的和物理与其他学科间的联系，使学生一开始就明白大学物理与高等数学知识紧密关联，强调大学物理和中学物理在内容和要求上的差异。为了培养学生的自学能力，应在指定的教材以外给学生推荐和开列出多种教材型和习题解答型参考书目录，让学生了解课程内容的安排不是完全按照教材内容和次序进行的，如有的内容教材中介绍得比较简单或没有介绍，而在课堂上讲得比较详细，这样就迫使学生找参考资料去查阅该内容；还有些教材内容被定为自学内容，列出自学提纲要求学生课后自学。在绪论课中同时要给学生介绍一些适用于大学物理的大信息量和快节奏的有效的学习方法和经验（如学生课前预习，带着问题去听课，在课堂上抓住重点、难点，做好课堂笔记，课后及时复习、总结，做的题目不在多，而在精；学生在学完每章内容后通过查阅该参考书，自己总结、归纳本章节的主要内容、重要定理、习题类型、解题方法等），强调学生学习的主体意识。此外，还要提供给学生本学期的教学计划、教学内容、成绩考核、评定方法。为不影响大学物理的教学效果和质量，同时也不挫伤学生学习物理的积极性，让学生有一个从原来已习惯了的高中物理的慢节奏、少容量、讲练结合教学方法逐渐过渡到一种新的快节奏、大容量的大学物理教学方法的过程非常重要。在教学计划的安排上，主张在开课后的24周内适当放慢起始教学进度，使学生逐渐适应后再过渡到正常的教学进度。
教师在大学物理教学过程中要重视物理概念、物理规律和物理学方法论及其实际应用。
物理是培养学生逻辑思维能力的一门最重要的学科，所以作为物理教师更应多注重学生分析问题和解决问题能力的培养。在教学中教师讲授物理的过程要“由浅入深，引人入胜”，简单而形象；帮助学生复习中学的内容时要重点突出、简明扼要，目的是要由此引入大学物理新内容，重点是讲解大学物理新知识。教学中可借助典型例题讲解并对解题方法和一题多解的可能性进行讨论，提高学生的思辨能力；课堂上的物理问题讨论可增加物理教学互动性，提高学生的学习兴趣。课后给学生布置的作业遵从少而精的原则。精选习题中一定要含有大学物理的新知识，规定用大学物理的新方法去求解，以达到通过做作业来巩固所学的新知识、新方法的目的。为把学习的空间还给学生，最大限度地挖掘学生的潜能，让学生在课上和课下的学习有机结合，在每次课后留给学生几个深入的问题供其思考不失为一种很好的教学方法。为了解决这些问题，学生需要课后看教材，还要去查阅许多相关参考书和搜集资料。学生可通过自己解决疑点、找到答案而增加学习的信心，提高自主学习的能力；若在思考解决问题过程中又遇到更多的难点和问题，学生会通过与其他同学讨论受到启发，也会在下次上课时特别认真仔细地去听老师讲解、与老师讨论，这样的一个环节有助于提高教学质量、提高学生的学习兴趣及分析和解决问题的能力。
结束语
针对新形势下创新人才的培养目标和新时期理工科大学生的特点，我们进行了大学物理教学方法的探索、改革与实践。通过多层次的动态教学方式激发学生的学习热情，利用多种感性教学活动调动学生的学习兴趣，更好地培养学生的自主学习能力和创造性能力、开发学生的潜能。随着教改的不断深入和教学方法的深化，综合运用多种教学手段和教学模式来提高教学质量已势在必行。
将数学建模思想融入到工科数学主干课程的案例初探
郝荣霞，李琦
（北京交通大学理学院数学系，100044）
摘要：如何利用工科数学中学过的基础知识来解决数学及其他领域的实际问题，将建模思想融入到工科数学教学中是我们进行研究性教学的目标。但由于教师受多年旧的教学模式的影响，虽然想改变教学模式，但是脑袋里缺少的是建模思想，手里缺少的是典型案例。在这篇文章中我们给出了将数学建模思想融入到微积分和线性代数中的几个案例。
关键词：建模思想 幂级数 矩阵乘法
一、前言
工科院校的数学一般泛指微积分、线性代数、概率统计等基础课程。这些课程的实际教学效果将会直接影响到学校的整体教学水平。然而，事实证明这些课程对学生来说又是最困难的必修课。如何既让学生掌握数学基础知识、基本技能和基本方法的学习，同时又能有效地提高学生的学习兴趣及分析问题和解决问题的能力，达到最有效地培养现代社会需要的具有创新精神和研究能力的高科技人才，这是我们基础课教师面临的挑战和必须解决的问题。
下面笔者主要从如何将建模思想融入到工科数学教学中的案例入手，探究问题式的研究性教学模式。
传统的数学教学模式往往是“教师讲，学生听；教师写，学生抄；教师问，学生答”。
而教师上课讲的内容也仅仅是定义、定理证明、公式、法则及例题，而知识的广泛应用和许许多多的利用知识解决问题的精彩思想和方法被排斥于我们的教材和教学之外。这样就导致了大学数学课程的课堂气氛总是严肃而沉闷，久而久之，基础不好的学生容易感到乏味和畏惧。基础好的学生头脑里装的都是对知识的被动理解，对知识“只知其然，不知其所以然，更不知其用和如何用”。所以碰到实际问题，不会形成知识的再现，缺乏数学技能的应用。
而未来社会需要的是将知识应用于社会的创造性人才。近几年的考研题中也多次出现一些应用题，而对这些应用题首先要建立数学模型，通过学过的基础知识来解决数学模型，进而解决实际问题。但由于教师受多年旧的教学模式的影响，虽然想改变教学模式，但是脑袋里缺少的是建模思想，手里缺少的是典型案例，所以在教学中多一些建模思想，找一些便于理解的典型案例，显得非常重要。下面给出几个教学案例。
二、将数学建模思想融入到微积分的案例
（一）数学建模思想在幂级数展开中的案例
在微积分课程中讲幂级数前，可以借助于例子说明将一个函数展开成多项式形式在图的着色方面的实际背景。通过这种实际背景让同学们掌握学习函数和幂级数之间联系的必要性，然后很自然地引出幂级数展开的概念。
大家都知道在世界地图上，世界上每个国家都着一种颜色，且相邻的国家着不同的颜色，可以用四种颜色进行着色，这就是所谓的四色定理。如果我们把每个国家看成是平面上的一个点，两个国家相邻当且仅当这两个国家代表的点之间连一条边，则上面的着色问题就可以理解成：对图的顶点进行着色，使有边相连的顶点着不同的颜色，这就是图的正常顶点着色问题。按照这种正常着色的规律，很自然地给同学们提出问题：对任意一个图，如果用n 种颜色进行着色，有多少种不同的着色方法呢？如何在一个函数里把用不同的颜色进行着色的方法数都体现出来呢？下面老师和同学们一起分析如何建立目标函数。
设用n 种颜色进行着色，有an 种不同的着色方法。对不同的n，an 要在同一个函数里出现，最简单的莫过于建立下列的着色方案的目标函数f（x）：f（x）＝a0x0＋a1x1＋a2x2＋？＋an xn＋？
其中，xn 的系数an 表示用n 种颜色着色的方案数。在同学们对幂级数模型有一个具体的了解后，老师紧接着给出了如下问题，如果f（x）满足的函数关系式有了，如何求着色方案an 呢？这时同学们的兴趣被激发出来，他们急于想知道如何将函数进行展开，老师马上说：这就是本节要讲的幂级数展开。这种方法变“要学生学”为“学生要学”。实际例子可以使学生回味无穷，且对内容有深刻的理解。
（二）数学建模思想在地图计数中的案例
同学们在学完泰勒展开后，对幂级数及函数的幂级数展开，总是不知道学了这些有哪些应用，这里我们还可以给出在地图计数方面的应用背景。
首先介绍一下与平面地图有关的概念：地图是连通图，地图中的每条边有两个端点和两个侧。如果在地图的一条边的某侧定义了一个方向，且这条边的两侧是不同的，则称地图为“有根”的。两个地图“同构”是指保持这两个地图的根对应，且保持边的关联关系的顶点之间的一一对应。
地图中的一条边称为“割边”，如果去掉这条边后地图不连通。如果一个地图的边的两个端点重合或是割边，称此地图为“双奇异地图”。
设平面有根双奇异地图的集合为G，G 中边数为n 的不同构地图的个数为bn 且计数函数为g（x）＝b0x0＋b1x1＋b2x2＋？＋bn xn＋？。然后直接给出（或利用参考文献［2］中介绍的方法求出）g（x）满足：2xg（x）2－g（x）＋1＝0。让同学们求出bn 。
三、将数学建模思想融入到线性代数的案例
（一）数学建模思想在矩阵乘法中的案例
矩阵是线性代数中的重要内容，为了巩固矩阵的乘法和利用可逆变换矩阵P 求矩阵的高次幂的知识，我们可以给出下列的矩阵乘法在实际问题中的应用背景及案例分析。
问题：随着改革开放的发展，中国经济的发展越来越快，中国各大城市间的贸易往来越来越多，所以各个城市之间的交通情况和道路问题就显得越来越重要。问如何求任意两个城市之间经过k个城市的不同路的条数。
模型假设：（1）设中国的地理位置为一个平面，每个大城市设为平面中的一个点；设中国的大城市有n个，分别记为：v1，v2，？，vn，其中vi代表第i个大城市。
（2）两个城市A，B之间若有一条不经过其他大城市的路，则在这两个城市A，B代表的点之间连一条边。
（3）若两个城市A，B之间有一条经过k －1个大城市的路，则代表城市A，B的点vi ，vj之间有一条经过k条边的路，这时称这条路的长度为k。
初始条件：若在这两个城市A，B代表的点vi ，vj之间有一条边，则称vi ，vj之间有一条长度为1的路。
模型建立：（1）让同学们建立模型。老师可以提醒：如何把实际问题用矩阵表示？经过老师的提示：建立一个n×n矩阵A＝（aij）n×n，如果vi和vj 之间有r条边，即第i 城市到第j个城市之间有r条不经过其他城市的路，则aij＝r。显然A是一个对称的矩阵。
