无论检验多大的数都可以发现，只要是大于4的偶数都能写成两个奇素数之和，大于7的奇数总能写成三个奇素数之和。例如：
6=3+3，8=5+3
10=5+5……
100=97+3102=97+5……
9=3+3+3，11=5+3+3……
99=89+7+3，101+89+7+5……
但这两个结论能不能对一切这样的偶数和奇数都适应呢？德国数学家哥德巴赫在1742年6月7日写给欧拉的信中第一次提出了上述问题。6月30日，欧拉回信说：“任何大于4的偶数都是两个奇素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑，我认为这是完全正确的定理。”由于欧拉是当时最伟大的数学家，他的信心吸引了许多数学家试图证明它们，但直到19世纪末都没有取得任何进展，这就是着名的哥德巴赫猜想。
要解决这个问题，就得检验每个自然数，看哥德巴赫猜想是否对每一个数都成立。但困难在于自然数有无限多个，不管已经验证了多少个，也不能下结论说下一个数还是这样。实际上，有人对直到33000000000000的所有偶数都做了验证，仍不能解决这一问题。因此，一位着名数学家说：“哥德巴赫猜想的困难程度，可以和任何没有解决的数学问题相匹敌。”也有人把哥德巴赫猜想比作数学王冠上的明珠。
数学家们为了摘取这颗明珠，做了无数次的努力。前苏联数学家于1937年证明了每个大奇数都可以表示为三个奇数之和，这个大奇数比10的400万次方(1后面跟上400万个0)还要大，而目前已知的最大素数比这小得多。这离结论还差得很远，而且他也没证明奇数能否表示成三个奇素数之和。因此，数学家采用分步走的办法，先证明一个类似于哥德巴赫猜想的问题，即先证明任何大于4的正整数，都能表示为c个素数之和(c是某个常数)。沿着这条路，数学家们先后证明了：
c小于等于800000(1930年)
C小于等于2208(1935年)
c小于等于71(1936年)
c小于等于67(1937年)
c小于等于20(1950年)
中国的尹文霖于1956年证明了c小于等于18。
靠着更复杂的数学工具，前苏联数学家于1937年证明了对于足够大的偶数，c小于等于4，哥德巴赫的问题相当于c=2。但由4到2的证明是相当困难的，显然这条路也并不完全畅通。
与此同时，数学家们还在尝试另外一条路。即证明每个大偶数可以表示为：一个素因数的个数不超过a个的数与一个素因数的个数不超过b个的数之和。这一命题叫做(a+b)。这样，哥德巴赫猜想基本上就是要证明(1+1)是正确的。
挪威数学家布朗于1920年首先证明了(9+9)，此后这方面的工作不断取得进展。
我国数学家王元于1957年证明了(2+3)。
中国数学家潘承洞于1962年证明了(1+5)，同年又和王元合作证明了(1+4)。后来又有人证明了(1+3)。
中国数学家陈景润于1966年证明了(1+2)，并于1973年发表，立即轰动了国际数学界。一位英国数学家称陈景润移动了“群山”。
虽然从(1+2)到(1+1)仅有一步之隔了，然而，这一步却有难以想象的艰难。有许多数学家认为，要想证明(1+1)，很可能必须创造新的方法，以往的路都是走不通的。
