本课题的主要研究思路是：以现代教育思想、现代教学理论、数学教学理论为指导，以转变学生学习方式为核心，以优化教学过程为主线，以发挥信息技术潜在优势为重点，以理论研究、实践探索和资源建设为同步；以行动研究为主要研究策略，以总课题组引领与基地学校子课题专题研究相结合为基本研究方式，围绕“信息技术与初中数学课程整合”的基本原则、教学策略、教学模式、资源平台和评价体系等方面开展专题性和系统性、深层次和规律性的理论研究和实践探索。
（第四节 ）数学问题的解决
一、数学问题情景的创立和问题的解决
（一）数学问题的涵义
1.什么是数学问题
数学问题是指不能用现成的数学经验和方法解决的一种情景状态。如幂的指数由正整数到正分数，对初学的学生来说就是一个不能直接用已有的数学经验和方法解决成进行计算的情景状态，它就是一个问题。就信息加工而言，数学问题对学生来讲是一组尚未达到目标状态的、有待加工处理的信息。如果把一个数学问题看作一个系统，那么这个系统中至少有一个要素是学生还不知道的。假如构成这个系统的全部要素都是学生已知的，那么这个系统对学生来说就不是问题系统了，而是一种稳定系统。数学问题有两个特别显著的特点：一是障碍性，即学生不能直接看出问题的解法和答案，必须经过深入的研究与思考才能得出其答案；二是可接受性，即它能激起学生的学习兴趣，学生愿意运用已掌握的知识和方法去解决。
2.数学问题的结构
数学问题作为一种有待加工的信息系统，它主要由以下三种成分构成。
l）条件信息。条件信息是指问题已知的和给定的东西，它可以是一些数据、一种关系或者某种状态。如计算题中给定的数据和运算符号，应用题中的已知数量及其相互之间的关系等都是数学问题给定的条件信息。
2）目标信息。目标在这里是指一个数学问题求解后所要达到的结果状态，即通常所说的要求什么。数学问题一旦由问题状态转化成目标状态以后，它就不再是一个问题系统了。
3）思维信息。这里是指条件所允许采取的求解行动，即可以采取哪些思维方式把数学问题由问题状态转化成目标状态，它是问题求解的途径。
3.数学问题的类型
就数学问题而言我们可以把它按内容归纳为；计算问题，证明问题，实际问题。按形式可归纳为：填空题，选择题，计算题，证明题，作图题，应用题，阅读理解题等等。
4.数学问题情景的创立
数学问题情景的创立是指帮助学生在要解决的问题之间创立新的情景状态，有利帮助学生运用所掌握的数学知识对面临的问题采用新的策略和方法寻求问题答案的一种心理活动过程。
1)创设趣味、游戏情境
在学习二元一次方程组时，设置：鸡兔共49只，100条腿满地走，问鸡兔各几只？学生被这个有趣问题吸引，思考问题的答案。以“趣”引“思”，使学生处于兴奋状态和积极思维状态。这是诱发学生主动学习的一种好方法。
如讲相似三角形判定定理一节时，授课前，先给同学们讲一个故事：古希腊有一个哲学家泰勒斯旅行到埃及，在一个晴朗的日子里，埃及伊西达神殿的司祭长陪同他去参观胡夫金字塔，泰勒斯问司祭长：“有谁知道金字塔有多高吗？”司祭长告诉他：“没有，我的孩子，古代草片文字没有告诉这个，而我们今天的知识使我们甚至不可能大概地判定这金字塔究竟有多高。”泰勒斯说：“可是，这是马上可以测出来的，我可以根据我的身高测得金字塔的高度。”说完，泰勒斯随即从白长袍下取出一条结绳，在他的助手帮助下，测得塔高是131米。故事讲完了，在学生们还沉浸在故事之中时，问：“谁能说出泰勒斯是如何测出塔高的？”学生们面面向视，回答不出，老师告诉学生：“下面将要学习的相似三角形的判定定理就能帮助你回答。”这一悬念的设置，使学生产生好奇心和浓厚的兴趣，急于释疑，很自然地把学生引入到生机盎然的学习情况中去。
华东师大新编教材，创设了许多非常好的娱乐游戏情景，例如，做一做，试一试，阅读材料，每一册书的最后一章，都是统计学的有关知识，在这里有许许多多的游戏，例如“抛硬币”，“抛骰子”，“抢答数字”……等等，增加了学生学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，使他们在开心、愉快的心境中获得知识，不断成长。
2)创设应用情境
例如，在讲授《三角形全等的判定2》时，开始就设置问题：
一块三角形的玻璃，不小心打成了两块（如图），要裁用同样大小的玻璃，要不要将两块都带去？为什么？如果带去一块可以的话，应带去哪一块？为什么？这样创设问题情景，能吸引学生注意力，启迪思维，足以激发学生不断追求新知识。
3)创设联想情境
在讲授新知识之前，教师要提问本课所用到的旧知识，以达到顺利地完成本课教学任务的目的，也为学生积极思维创造条件，同时又能降低思维的难度。例如在讲梯形中位线定理时，教师首先提问：“三角形的中位线定理的内容是什么？”当提出梯形中位线定理之后，继续问：“能否利用三角形中位线定理使本定理获证？这样以旧引新的联想，引发学生的思维，为梯形中位线定理证明奠定了基础，使学生紧紧围绕三角形中位线的性质积极思考。于是，本定理证明的主要难点—辅助线就很容易被突破。
又例如：学习二次根式的运算时，先让学生回到整式中去，复习其中的有关运算方法，法则及注意事项；这些能否应用到二次根式的运算中去呢？以旧带新就显得很自然，通俗易懂。
4)创设猜想情境
在习题的教学中，一些习题难度较大学生思路受阻，往往丧失学习兴趣。如果能在教学中引导学生通过对比、观察、分析和综合，对问题产生猜想，则能开通学生的思路，激发起学生的学习兴趣。
要对a4+a2b2+b4分解因式，学生感到困难，可先让学生用两种方法将a6-b6分解因式：
解法一：a6-b6=(a2)3-(b2)3=(a+b)(a-b)(a4+a2b2+b4)
解法二：a6-b6=(a3)2-(b3)3=(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)
两种方法，解出两种结果，学生通过对比、观察便可自然产生猜想：(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)=a4+a4b4+b4。至此，学生情绪激昂，信心十足，就像发现了新大陆，几乎不费力地得出拆项法分解a4+a2b2+b4的方法。
又例如，在讲授《三角形内角和》时，设置问题：①任意画一个△ABC，②剪下∠A、∠B并与∠C相拼，组成一个什么角？③由此你能猜出什么结论？从中悟出证明三角形内角和定理的方法，创设这样的问题情境，便于学生操作，并能引起学生积极猜测，深入思考问题。通过实验观察，猜测出结论；再通过度量计算或说理得出结论，这是数学发现的重要方法。如果按照这个程序创设问题情境，既启发学生积极思维，又使学生尝试到模拟数学家发现结论的方法，增强学习的兴趣。
5)创设直观情境
初中学生处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，过分抽象的内容他们往往会感到枯燥乏味，难于理解。如果能把抽象的内容通过直观教具来演示，加强直观教学，则有助于兴趣的激发。
垂径定理及其推论是平面几何中的一个重要定理，在讲授这一节时，教师用硬纸板做了一个如图所示的教具。
教具沿对称轴折叠演示，使学生从直观上了解到：当直径CD与弦AB垂直时，直径CD就平分弦AB所对的两段弧。
在感性认识的基础上，再从理论上加以证明，这样有助于学生理解掌握。
菱形的性质及其推论在四边形中是非常重要的，华东师大版的教材《八年级上册》P41的做一做，将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么图形呢？再通过的展开、合并，就可以直观地得到菱形的所有性质及其推论，创设一个简单的剪纸游戏，让学生在娱乐中掌握了知识。
6)创设实验情境
“爱动”是初中生的一大心理特征，在教学中如果想方法设计，顺应其心理需要，使学生通过实际操作，动手动脑，自己发现真理和论证思路，则会活跃课堂气氛，发展学生的数学思维，促进智力的开发。
学生在动手操作中自然会产生疑问；老师要引导学生的实验朝目标方向去思考。例如：在讲“直径所对的圆周角是直角”这节课时，教师要求学生在纸上划一个圆，假定不知道圆心，这时问学生：“谁能用三角板找到圆心？”通过动手实验，有的学生小声说：“要找到两条直径的交点就好了，但直径怎么找呢？”进一步实验，学生会发现：三角板直角顶点在圆周上，两条直角边与圆的交点连起来就是直径。最后教师提问：这个实验说明了什么道理？学生的思维马上回到本课要讲的内容上。在上述教学过程中，学生可以广泛地调动起来，深深地沉浸在对问题探讨的过程之中。
7)创设类比情境
不少数学知识在内容和形式上有类似之处，它们之间既有联系又有区别。对于这样的教学内容，如果能引导学生对新旧知识进行比较，以期触类旁通，则能把学生已获得的知识和技能从已知的对象迁移到未知的对象上去，促使他们迫不及待地学习和研究。
学习三角形内角平分线性质定理时，为了证明线段成比例，必须添辅助线，创造平行条件，在三角形的外部作内角平分线的平行线。达到要证明三角形的外角平分线性质定理，对比三角形内角平分线性质定理的作处理，提出问题：
①如何创造线段平行的条件，从而推出线段在比例的结论呢？
②在三角形的内部还是外部作平行线？如何作？
这样通过对比提问，学生会类比已证题目顺利添上辅助线。这两题做完后，还可引导学生思考这一类题添辅助线的规律：根据平行线分线段成比例定理，添上辅助平行线，作出第四比例线段。
8)创设变异情境
初中生往往只能集中精力学习30分钟，在这以后的时间里，如果题目没有吸引力，注意力就容易分散。因此，我们可以采取一题多问，一题多变，一题多解以及变换问题的条件或结论等形式，改变问题的情趣，创设出问题的情境，来集中学生的注意力。
初三学生学过全等三角形后，对解下题可能满不在乎：
已知：AD与BC相交于E，BE=EC，AE=ED。
求证：ABE≌DCE。
但如果把问题的结论稍加变化：要证明ABE与DCE全等，需要哪些条件？问题一变，单项思维变为发散思维，学生当即兴致勃勃，思绪如潮，大有“不尽长江滚滚来”之势。
总之，创设问题情境的方法很多，没有一定的模式，教师只要深入地钻研教材，多方学习，多了解学生的具体情况以及教学原则来精心设计，定能创设出活泼、热烈、跃跃欲试的问题情境有效地激发起学生在获取知识过程中的好奇欲望，探索欲望和竞争欲望。
（二）影响问题解决的因素
数学问题解决的过程是一个复杂的心理活动过程，它对学生的学习和发展具有重要的作用。
1.学生原有知识的掌握水平
数学问题解决，从根本上来讲是把前面已学到的数学知识运用到新的情景中去的过程，并且这种运用不是一种简单的模仿操作，而是一种对已经掌握的数学概念、规则、方法和技能重新组合的创造性运用。这个过程本身就是一种加深数学知识的理解并灵活运用所学知识的过程。如解以一元二次方程，要综合运用到一元一次方程的基本解法、开平方，因式分解，配方法等知识才能使问题得到解决，很明显，这个过程的本身就是一个提高开平方运算，因式分解，配方法掌握水平的过程。
数学问题解决和练习都有提高知识掌握水平的功能，但两者有着根本性的区别。前者主要是通过对已有知识和方法的重新组合而生成新的解题策略和方法，它通过创新活动去实现已有数学知识在更高层次上的掌握；而练习则更多地是一种对已有知识的重复学习，它主要是通过巩固去加深知识的理解和掌握。
2.学生运用所学数学知识解决实际问题的能力
在数学问题解决的过程中，根据实现问题目标的需要，学生要主动地将原来所学过的有关知识运用到新的情景中去，使问题得到解决。这个过程本身就是一个运用数学知识，使知识转化成能力的过程。
因此数学问题解决对于培养学生的数学能力，特别是运用所学数学知识解决简单实际问题的能力具有重要的意义。首先，它促使学生在原有认知结构中去提取有用的知识和经验运用于新的问题情景，培养学生根据目标需要检索和提取有用信息的能力。其次，数学问题解决促使学生将过去已掌握的静态的知识和方法转化成可操作的动态程序。这个过程本身就是一个将知识转化成能力的过程。另外，数学问题解决能使学生将已有的数学知识迁移到他们不熟悉的情景中去，并作为实现问题解决的方法和措施。这既是一种迁移能力的培养，同时又是一种主动运用原有的知识解决新问题能力的培养。
3.学生对问题解决的情感态度
在数学问题解决的过程中，学生对面临的问题主观愿不愿意运用这些知识去解决问题，他们遇到困难有没有勇气和决心去解决它。例如求出X的取值范围，有相当一部分同学怕，甚至看都不想看。还有相当一部分同学由于长期被动的接受数学知识，失去了切身感受到运用数学知识解决问题后的成功体验，无兴趣可言。
4.思维方式和方法的障碍
中学生对数学问题解决，用数学的眼光去观察身边的事物，用数学的思维方法去分析日常生活中的现象。常常感到无从入手，或进行不下去。例如已知四边形ABCD中，AB∥CD，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，很多数学问题对学生来说都是第一次遇到的新情景，怎样去实现问题的解决并没有现成的方法和措施可采用，需要学生根据具体的问题情景去探索和发现能使问题达到目标状态的方法与途径，这个过程的本身就是一个主动探索的过程。另一方面，任何数学问题的解决都不能直接依赖于已有的知识和方法，只有通过对已掌握的知识和方法的重新组合并生成新的策略和方法才能实现问题的解决。很明显，数学问题解决的过程又是一个创新的过程。
（三）问题解决的策略
问题解决的策略是这一过程促使学生寻求新的途径和方法去实现问题的解决的有效过程。它不仅可以使学生获得初步的创新能力，同时还可以让学生从小养成创新的意识和创新的思维习惯，为今后实现更高层次的创新奠定良好的基础。
