数学之王
高斯，1777年4月30日生于德国布伦什维克，父亲是一位勤杂工，没有受过正规教育，母亲是一位石匠的女儿。
高斯的舅舅是一位精明能干又懂得不少知识的商人，经常给他讲故事，并教他读书写字。
高斯有一个出众的数学头脑，很小就表现了杰出的数学才能。在他3岁的时候，有一次，当工头的父亲正在算账，给工人发薪水，这时小高斯怯生生地说：“爸爸，您算得不对，应这样算。”
原来，小高斯一直暗地里跟着父亲计算。
“真的吗？”父亲惊异地复核了一次，果然孩子说的是正确的。
7岁时，高斯上了小学，特别喜欢算术课，在他三年级时，又一次表现出了他非凡的数学才能。
一天，彪特耐尔老师照例来上算术课。
“今天我给大家出一道难题，计算从1到100所有数字的总和，看谁能做出来，如果做好了，就把答案送到讲台上来。”彪特耐尔看不起这些农村的孩子，不安心在乡村小学的教学工作。
这一道题对于小学生来说，确实是一道难题，只见其他同学都在费劲地把数字一个接一个地相加着，但没过多久。小高斯就把答案交到讲台上去了。
答案是5050，一点没错！
高斯怎么算得如此迅速呢？原来他没有把100个数字机械地累计相加，而是发现了其中的规律，就是距两端等远的两数之和都等于101，一共是50个101，就推出从1到100的数字总和是：
50×101=5050高斯的才华使彪特耐尔非常惊异，同时感到内疚。他原来认为农村孩子笨，而高斯比城里的孩子还要聪明，从此他便安心于乡村教学，努力教好这些孩子们。为了使高斯的求知欲能在自己的课堂之外得到更多地满足，老师特地从汉堡买来各种数学书送给高斯。
在这以后的几年里，彪特耐尔悉心教导高斯，和他一起讨论问题，促使高斯加速进入数学王国。
由于高斯在童年时代就表现了惊人的数学才能，因而受到了布伦什维克公爵的重视，他答应资助高斯接受高等教育。1792年，高斯被送到卡罗琳学院深造。
1795年，高斯进入哥廷根大学。从此踏上了科学研究的道路，在数学、物理学和天文学方面都做出了杰出的贡献。
在数学方面，高斯第一个用尺规作出了正十七边形，解决了这个数学史上着名的难题。
尺规作图，是古希腊学者提出的数学问题。在高斯以前，人们已经能用直尺和圆规作出正三边形、正四边形、正五边形、正六边形、正十边形和正十二边形。当他们试图作正七边形、正十一边形、正十七边形时，遇到了很大的困难。
于是他们认为这样的正多边形不可能用尺规作出。高斯把正十七边形作出来了，是一个非常了不起的成就，推翻了人们的错误认识。高斯还进一步证明了这种作图可能性的条件。
在代数学方面，高斯证明了代数基本定理，即每个代数方程必具有一个复数形式的根。在数论中，他19岁时就发现并证明了二次互反律。他证明了算术基本定理——每个自然数都可以表示为素数乘积的形式，而且这种表示是唯一的。
高斯还对数学的许多分支，像复变函数、微分几何、超几何级数、统计数学、椭圆函数论、分析等都有重大贡献。
由于他对数学的许多贡献和许多新思想，而受到了所有数学家的赞誉。
一位数学家说：“如果把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个使人肃然起敬的峰巅是高斯——那样一个广大的丰富的区域充满了生命的新元素。”
由于高斯的光辉成就，他受到了同代及后代人的赞扬和尊重，并称他为“数学之王”。
高斯一生善于独立思考，不断地学习和钻研。他对自己的论文都是深思熟虑并经过反复修改才拿去发表，不成熟的论文决不发表。他的座右铭是：
“宁可少些，但要好些。”
但是，高斯的谨慎、求全、求好的品德，一方面在某种程度上影响了他的聪明才智更好地发挥，一方面由于他不愿意把不成熟或他自己认为不成熟的数学思想公诸于世，而又影响了数学的更快发展。
美国数学家贝尔曾说：在高斯死后，人们才知道他早就预见了一些19世纪的数学，而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把所知道的一些东西泄漏，很可能现代数学比日前还要先进半个世纪或更多的时间。
高斯对千古之谜的第5公设问题也进行了研究。
早在1792年高斯15岁时，就有了非欧几何的思想萌芽，17岁时发现欧氏几何平行公设不能成立。
高斯在进行大地测量学的研究中，对球面内的几何学进行了研究。后来在研究前人经验的基础上，用包括反证法在内的各种方法对第5公设进行了试证。
经过多年的探索，高斯在1816年终于发现，第5公设根本不可证明。并由此发现，在欧氏几何之外，实际上还存在另外一种几何，高斯先后把它称为：“反欧几里德几何”、“星际几何”、“非欧几里德几何”等，这就是“非欧几何”。
高斯的非欧几何思想十分卓越，而且形成得很早，多次发现了一些重要定理。
由于欧氏几何根深蒂固，同时，早已闻名于欧洲数学界的高斯特别谨慎，又受康德唯心主义学说的压力，而害怕别人嘲笑他“无知”，怕人们发出“愚人的叫喊”和攻击，不敢发表自己的观点和研究成果，并终止了对非欧几何的研究，直至1855年2月23日逝世。
这样，一朵有可能在高斯那里开出的科学之花，含苞萎缩了。
另一路进军者
在高斯发现非欧几何的同时，匈牙利数学家亚诺什·波耶也几乎同时发现了非欧几何，并勇敢地把它公诸于世。
且说1820年的一天，在维也纳工程学院读书的一个青年小伙子收到了一封家信，父亲在信中说：“你必须像痛恶淫荡的社交一样痛恶它。它能剥夺你的所有的闲暇，你的健康，你的休息，以及一生的所有快乐。这个无底的黑暗或许可以吞吃掉一千个灯塔样的牛顿，而在大地上将仍不会有光明。”
痛恶什么？竟如此严重！
这是一封父亲亚诺什·法卡什写给儿子亚诺针·波耶的信，严厉告诫儿子放弃对欧氏几何第5公设的证明。
法卡什之所以对第5公设的证明深恶痛绝，是由他亲身体验总结出来的。
法卡什有一肚子的苦水。
法卡什早年在数学上很有造就，对第5公设之谜也产生了浓厚的兴趣，在1796年有幸去德国游学，在哥廷根结识了数学之王高斯，共同的志趣使两人很快成为关系密切的挚友，从此不断地进行书信往来，研讨学术问题。
不过，高斯和法卡什研究第5公设有所不同。高斯认为第5公设不可证明，并发现了非欧几何。而法卡什始终认为第5公设是可以证明的，因此注定要失败。
法卡什在第5公设的研究中，耗费了大半生时间，始终没有在数学上取得重大成就，只能在一个小城中学当一个普通的数学教师。
法卡什回想自己的一生，虽然耗费了大量的时间和精力，却得不出任何结果，断送了光辉的前程，就连数学之王高斯在第5公设的研究中，也没有发表任何成果。
前人的失败，自己的教训，使法卡什对这个数学之谜深恶痛绝。当得知儿子步人后尘时，做父亲的怎能不苦心相劝呢？
大家不禁要问，波耶是怎样对第5公设产生兴趣的呢？他听从父亲的劝告了吗？
波耶于1802年出生在匈牙利的柯罗日瓦尔，在父亲的影响下，从小喜欢数学。波耶中学毕业后，在父亲的指导下，已掌握了高等数学的基础知识。
这时，法卡什想把儿子送到高斯手下深造，未能实现。
1820年，波耶以优异成绩考入维也纳皇家工程学院，但对数学仍然抱有特殊的偏好。
就在这一年，波耶开始试证第5公设，并征求父亲意见。法卡什知道后，多次写信劝告：“老天啊，希望你放弃这个问题……”“希望你不要再尝试了……我熟知一切方法都到尽头了；并且我在这里埋没了人生的一切亮光，一切快乐。”
波耶不听父亲的劝告，没有被父亲的悲观言论所吓倒，执意研究第5公设。
1822年，波耶从维也纳工程学院毕业后，因成绩优秀，被留校进行特种军事工程研究，一年后，被征到军队服役，成为一名勇敢的军官。
从工程学院的学习，到后来的军旅生活，波耶一直把全部业余时间用于第5公设的研究上。在研究过程中，他广泛吸取前人的研究成果，力图证明第5公设。
经过几年的苦心研究，波耶终于证明第5公设在欧氏几何理论中是一个独立的公设，企图用欧氏几何的其他公设来证明第5公设是不可能的。从而解决了这一数学难题。
1823年，波耶写成论文《空间的绝对几何学》，阐述这一发现。他在写给父亲的信中说：“我坚决地决定出版自己的关于平行线的着作，只要情况一旦允许我把资料整理就绪。现在我还没有达到目的，但是我已获得这样可注目的一些结果；如果这些遭受摧残的话，那真是太可惜啦。”
法卡什不相信21岁的儿子会超过自己，更不相信儿子能在平行线理论上有什么作为。
波耶在证明第5公设不可证明后，由此引出一条相反的定理：过直线外一点，可引无穷多条平行线。从这一定理出发，波耶又推出了一系列新的定理，从而形成了一个严密而完整的新的几何系统，创立了非欧几何。
当高斯发现非欧几何时，由于害怕遭到传统势力的围攻，而不敢发表，把它锁在书柜里。但年轻的波耶勇敢地向传统观念挑战，决心把自己的见解公布于众。
1825年，波耶在完成了他的非欧几何学后，亲自回到柯罗日瓦尔，向父亲详细介绍自己的研究过程和结果，并请求帮助把自己的论文《一种包含绝对真实的空间科学》出版。
法卡什已失去了探索和创新的勇气，在传统观念的束缚下，对波耶非凡的工作抱着不以为然的态度，拒绝了儿子的要求。
波耶对父亲感到失望，便向维也纳工程学院的老师求援。1826年，他把非欧几何学的德文抄本，寄给艾克维尔数学教授。不幸的是，这个抄本被遗失了。
波耶毫无办法，只好再去求父亲。在多次请求后，法卡什才勉强同意把波耶的论文以附录的形式，出版在他自己正在写的《试论数学定理》这一着作中。
法卡什似乎看到波耶发现了什么新东西，但无法评价。从小就崇拜高斯的波耶，请父亲把自己的论文寄给高斯，希望能得到这位数学权威的评价。
1831年6月，法卡什写了一封信连同儿子的论文一起寄给了高斯。
信件向哥廷根飞去，也带走了波耶的心。他多么希望得到高斯的支持啊！
波耶急切地盼望高斯的回信，满怀信心地认为，对数学无所不知的高斯一定能理解和赞赏自己的研究工作。
1832年3月，高斯终于回信了。
高斯在信中说：“称赞他等于称赞我自己，因为这研究的一切内容，你的儿子所采用的方法和他所得到的一切结果，几乎全部和我的一部分在30至35年前已开始的个人沉思相符合。关于我自己的着作，虽只有一小部分已经写好，但我的目标本来是一生里不愿意发表的，大多数人对于那里所讨论的问题都抱着不正确的态度。”
他又说：“使我快乐地感到惊奇的是现在可以免去这劳力的耗费，并且特别高兴的，在我面前有这样惊异姿态的正是老友的儿子。”
从这封信的内容来看，高斯肯定了波耶的研究成果，但也不能过分称赞，那样等于自夸，之所以不愿意发表自己的成果，是为了回避传统势力的围攻。
波耶对高斯模棱两可的回信很失望，同时为和高斯的想法相符合而感到欣慰，更加坚信自己的理论是正确的，期待着尽快得到科学界的承认。
由于学术上的分歧，法卡什只给很小的篇幅附印儿子的论文。经过一再压缩，波耶的论文和他父亲的着作终于在1832年出版了。
罗巴切夫斯基的非欧几何
