欧几里得的《几何原本》至今仍然是中学平面几何的基石。《几何原本》共13卷，第一卷上有35条定义，5条公理和5条公设。这些公理和公设是全书的基石，其他的命题和定理都是这些定义、公理和公设的逻辑推理。
在5条公设中，前四条都容易验证，如两点之间可以连一直线。但是，第五公设“通过直线外一点，能并且只能作一条平行于原来直线的直线”很难验证。欧几里得本人也怀疑这一点，总是尽量避免引用它。因此在《几何原本》中，前二十八个命题的证明中没有用到第五公设；直到第二十九个命题时，不得不用第五公设。
能不能把第五公设删掉？能不能由其他公理、公设来证明第五公设？自公元5世纪来，探索这一问题的人历代不绝。1815年，罗巴切夫斯基开始研究第五公设，经过10年的冥思苦索，公开声明第五公设是不能用其他公设、公理证明的；并且采用了一条与第五公设相反的公理，即“经过直线外已知点至少可以作两条直线和已知直线不相交”。由其他原来的公设、公理和修改了的第五公设（即上面讲的公理）组成了新的公理体系。形成了新的非欧几何学，其严密性不亚于欧几里得几何。人们称新的几何学为罗巴切夫斯基几何。
从罗巴切夫斯基的公理体系出发，用逻辑推理的方法，可以得出与欧几里得几何截然不同的结果。如两平行线之间的距离不相等，三角形内角之和小于180°等。
高斯很早就提出了非欧几何的轮廓。但是，他生前始终没有发表这一成果。高斯的同学伏尔刚·鲍耶终身从事第五公设的证明，毫无成就，内心非常痛苦。他的儿子约·鲍耶继续钻研这一难题，终于在彼此独立的情况下，比罗巴切夫斯基迟几年发表非欧几何的成果。因此，约·鲍耶也成为非欧几何的创始人之一。
