函数的发展历程
翻开数学史，我们会发现，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用。有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用，我们所学过的函数就是这样的重要概念。
在笛卡儿引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域。人们对函数的概念也在不断深化。
17世纪德国数学家莱布尼茨最早提出了函数的概念。最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂，如y=kx+b都叫函数。以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标。
18世纪初，瑞士数学家贝努利继承了老师莱布尼茨对函数的研究，进一步把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量。”意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数。贝努利所强调的是函数要用公式来表示。
后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上。只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准。
在后来瑞士数学家欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了。18世纪中期，欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数。他认为：“函数是随意画出的一条曲线。”
当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度。他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”。19世纪20年代，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。
19世纪30年代中期，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。”这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系，可以来求出每一个x的对应值。
19世纪30年代末，德国数学家狄里克雷的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数。”他认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只需有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图像或表格或其他形式。这个定义比前面的定义带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便。因此，这个定义曾被长期使用着。
自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了。
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词，是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》一书时，把“function”译成“函数”的。
中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。
函数走过了漫长的历史，一步步趋于完善。通过无数数学家的努力探索研究，才有了我们今天所学习的函数。
函数经过这一系列的发展终于以比较完善的姿态来到了我们的教科书里面，我们在学习前人研究结果的同时，也不要忘记数学史上那些伟大的数学家为数学的进步、社会的进步所付出的艰辛和努力。
数学符号的起源
我们知道数学家族中除了数字以外，还有一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系。数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量却多得多。现在常用的有两百多个，初中数学书里就不下二十多种。这些符号我们在学习中都会遇到、利用到，那它们都是怎样产生的呢？
我们先来说说加号。加号在历史上曾经有好几种，现在通用“+”来表示相加。“+”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的。
“-”号是从拉丁文“minus”（“减”的意思）演变来的，简写“m”。
也有人这样解释加号和减号。卖酒的商人用“-”表示酒桶里的酒卖了多少。以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“-”上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个“+”号。
到了15世纪，德国数学家魏德美正式确定：“+”用作加号，“-”用作减号。
乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一个是“×”，最早是英国数学家奥屈特于1631年提出的，也是我们现在最常用的；一个是“·”，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为：“×”号像拉丁字母“X”，加以反对，而赞成用“·”号。他自己还提出用“п”表示相乘。可是这个符号现在应用到集合论中去了。
到了18世纪，美国数学家欧德莱认为“×”是“+”斜起来写，是另一种表示增加的符号。所以“×”作为乘号被他确定下来。
“÷”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。直到17世纪30年代初，英国数学家奥屈特用“：”表示除或比，另外有人用“—”（除线）表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将“÷”作为除号。
平方根号曾经用拉丁文“Radix”（根）的首尾两个字母合并起来表示，17世纪初叶，法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中，第一次用“”表示根号。
16世纪法国数学家维叶特用“=”表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号“=”就从1540年开始使用起来了。
16世纪末，法国数学家韦达大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。17世纪德国莱布尼茨广泛使用了“=”号，他还在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”表示全等。
大于号“＞”和小于号“＜”，是17世纪30年代英国著名代数学家赫锐奥特创用。至于“≯”“≮”、“≠”这三个符号的出现，是很晚很晚的事了。大括号“{}”和中括号“\[\]”是代数创始人之一魏治德创造的。
数学史的发展，数学家们的钻研和辛勤，终于创造出了这些看似简单却作用巨大的数学符号。是它们使我们今天的数学更加完善，更加科学。
看似简单的符号，在当初确实不是那么容易可以被确定下来的。我们今天之所以可以顺利轻松地运用数学知识，离不开这种种的小符号，符号们的起源发展对数学的发展起着不可低估的作用。
解析几何的诞生
解析几何既是数学中最基本的学科之一，也是科学技术中最基本的数学工具之一。
解析几何的诞生有着深刻的历史背景。
16世纪以后，社会的各个领域里都有了较大的发展，由于生产和科学技术的发展，原有的几何学已经不能够满足需要了，科学发展推动着几何学寻求更有效的思考工具，几何学迫切需要注入新的血液。此外，日常生活中也有许多问题等待着新的、未知的数学知识来解决。就是在这样的大环境下，解析几何学诞生了。
法国的著名数学家兼哲学家笛卡儿和费马最先认识到了解析几何学的重要性，并适时地开展了这项工作。一般认为和笛卡儿同时代的法国业余数学家费马同是解析几何的创建者。
17世纪30年代初，笛卡儿发表了他的著作《方法论》，在这本书的后面有一篇叫《几何学》的附录。正所谓无心插柳柳成荫，《方法论》的这个附录“反客为主”成了解析几何学，这一几何学的全新分支的起点。后世的数学家和数学史学家都把笛卡儿的《几何学》作为解析几何的起点。
平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切地联系了起来。
解析几何学将算术、代数、几何统一起来了，笛卡儿的《几何学》正是与这解析几何学的这一基本思想不谋而合，从他的这本书中可以看出，笛卡儿正是试图建立起一种这样的数学。笛卡儿想，把任何数学问题化为一个代数问题，再把任何代数问题归结到去解一个方程式。笛卡儿和费马通过把坐标系引入到几何图形中，将几何的基本元素——点，与代数的基本研究对象——数，对应起来，从而将几何问题转化为代数问题，将曲线或曲面转化为方程、函数进行解决，这就是解析几何的基本思想之一。笛卡儿在《几何学》里所阐述的解析几何，并不是全面的、完善的，但他和费马的这次重要发现为今后解析几何学的发展与应用做出了巨大的贡献。
坐标系是解析几何中联系各种量的桥梁和纽带，所以解析几何首先是建立坐标系。有了坐标系就将几何对象和数、几何关系和函数之间联系了起来，有了坐标，才能谈坐标间的函数关系，才能谈函数关系的几何意义，这正是解析几何的灵魂所在。但现代解析几何的研究方法是多样的，除了坐标法，还有向量法等，研究对象也不仅仅是简单的二维、三维的情况，而是更广泛的内容了。
解析几何学在当时的诞生使数学能够满足时代的发展需要，对今天的数学发展仍然有着重大的作用。
解析几何是在平面几何和立体几何的基础上发展起来的，同时它的出现又为几何学乃至整个数学学科的发展提供了新的思路和方法，具有重要的意义。
圆的面积
如何求圆的面积，现在是我们小学时的课程，一个再简单不过的公式，几乎人人都能熟练地掌握圆面积的求法。但是，就是这个表面看起来很容易解决的问题，在很久以前却一直困扰着人们，并持续了很久。看似简单的公式，里面却蕴涵着众多数学家的心血，凝聚了许多数学家的智慧。
人们从长方形的面积公式求法中衍生出如何求正方形的面积，根据正方形的面积又推演出了三角形的面积公式，就这样在长期对各种简单图形面积的研究中人们发现，任何一个多边形，因为可以分割成若干个三角形，所以它的面积，就等于这些三角形面积的和。但是这种方法并不是屡试不爽的，对于圆这种曲边形这个方法就不灵了，那么数学家们是怎么求出它的面积的呢？
圆是最重要的同时也是最基础的曲边形，怎样求圆的面积，即是生活和科学的需要，也是数学对人类智慧的一次考验。在漫长的时光隧道里，无数的数学家们用各种方法尝试求出圆的面积，位列古代三大几何难题的化圆为方问题，就是人们对如何求圆面积的一次重要尝试。这个尝试甚至持续了两千多年，直到19世纪，人们才证明了这个方法行不通。尽管这个方法并没有最终帮助人们解决圆的面积问题，但是人们在对它尝试的过程中积累了丰富的知识经验。
此后人们开始了新的尝试。我国古代的数学家祖冲之，对这个问题的研究也有突出的成就。他从圆内接正六边形入手，让边数成倍增加，用圆内接正多边形的面积去无限地迫近圆的面积，从而求出圆面积的近似值。
古希腊的数学家，从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手，不断增加它们的边数，从里外两个方面去逼近圆面积。这些方法只是能求得圆面积的近似值，但数学家的大胆尝试和创新方法，使后人再解决这个问题时有了珍贵的资料做参考。
16世纪德国著名的数学家开普勒使圆面积的求法进入了新的时代。开普勒对圆面积的问题非常感兴趣，在经过大量计算、研究和尝试后，开普勒独立创造了一种全新的数学求算方法——无穷分割法，运用这种方法，开普勒不仅求出了圆的面积，还求出了许多图形的面积。他将自己创造的这种求圆面积的新方法，发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中。《葡萄酒桶的立体几何》一书，很快在欧洲流传开了。数学家们高度评价开普勒的工作，称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源泉。
圆面积的求法问题终于在16世纪被开普勒打开了局面，开普勒坚持不懈的努力最终没有白费。虽然开普勒之前的许多数学家没有直接将圆的面积求出来，但他们对科学的执着是值得后人学习和借鉴的。
看似简单的图形其实隐藏着很难捉摸的玄机，圆面积的求法就恰好印证了这一点，但是在人们坚持不懈地努力下，还是算出来了。圆面积求法的征途上留下了他们光辉的足迹。人类在科学的考验面前，再一次书写了波澜壮阔的一篇！
玩出的概率论
概率论最初是从研究掷骰子等赌博中的简单问题开始的。赌博对人们的诱惑力有时候是出人意料的，以至于有人为了赌博时不输而进行科学研究，而不是依照科学为了生活服务的常理。
《重要的艺术》一书的作者卡当，是意大利的医生兼数学家，据说曾经大量地参与过赌博。他为了能够使自己在赌博中少输，专门研究了使自己不输的方法，相传这就是概率论产生的根源。其实，概率问题的历史可以追溯到遥远的过去，很早以前，人们就用抽签、抓阄的方法解决彼此间的争端，这可能是概率最早的应用。无独有偶，概率论的进一步发展又是在赌博的强大吸引力下进行的。
17世纪中叶，法国贵族德·美黑在骰子赌博中，由于有紧急的事情要处理，所以这场赌博必须中途停止，这时问题出现了，中途停止了赌博，那么赌资怎么进行分配呢？靠对胜负的预测把赌资进行合理的分配是比较合理的，但怎么样才能做到分配比例的合理呢？于是他决定向专家请教，就写信给当时法国最为权威的数学家帕斯卡。但令他们意想不到的是，正是他们这次赌博的中断，给后人留下了概率论，也正是这封信人们开始了探索概率论的征程。
帕斯卡不负众望，在为德·美黑解决这个问题的过程中和当时同为第一流的数学家费马一起，开创了一个全新的数学分支——概率论。到1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯写了《论掷骰子游戏中的计算》一书，在这本书中，惠更斯在这本书中记述了他对这个问题的研究成果。惠更斯把概率的问题置于更为复杂的情形下，试图总结出更一般的规律。这本书也是最早的概率论著作。
