说明：现行中学立体几何课本约定，没有特别说明的“两条直线或平面”，均指不重合的两条直线或平面。本书在叙述中，仍遵从这约定。
【两个平面平行的判定】
主要定理如下：
（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
（2）如果一个平面内的两条相交直线和另一个平面的两条直线分别平行，那么这两个平面平行；
（3）如果两个平面都与第三个平面平行，那么这两个平面也互相平行；
（4）垂直于同一条直线的两个平面平行。
【两个平面垂直的判定】
主要定理如下：
（1）如果两个平面相交成直二面的，那么这两个平面互相垂直；
（2）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；
（3）如果一个平面垂直两个平行平面中的一个，那么必垂直另一个。
【二面角】
一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分叫做半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面的棱。这两个半平面叫做二面角的面。
要注意把空间图形中的二面角和平面图形中的角进行比较，强调相似处，突出要点。现列表对比如下：
平面几何中可以把角理解为是一个旋转量，同样一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的。
【二面角的平面角】
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小，可以用它的平面角来度量。
怎样作二面角的平面角？一般的方法是利用定义、利用直线和平面垂直的性质、利用三垂线定理和它的逆定理。实际计算中，要具体问题具体分析。
【两个平面平行的性质】
立体几何中的平面“相当于”平面几何中的直线，对比平面几何中两条直线平行的性质，可以猜想出立体几何中两个平面平行的类似性质如下，它们的正确性请读者自己证明。
（1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行另一个平面；
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；
（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面；
（4）一个平面垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面；
（5）夹在两个平行平面的平行线段相等；
（6）一条直线和两个平行平面相交，那么它和两个平面所成的角相等；
（7）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例；
（8）过平面外一点只有一个平面和已知平面平行；
（9）经过已知平面外一点且平行于该平面的直线，都在过已知点平行于该平面的平面内；
（10）两个平行平面间的距离处处相等。
说明：为了使两个平面平行的性质比较完整，有的性质不能和平面几何中两条直线平行的性质进行类比，我们也列举出来了。
关于空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系的其他性质定理，本书中不再单独另列条目。这是因为不少性质定理换个角度看就可以当判定定理用。例如，两个平面垂直的性质定理“如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”，可以去判定一条直线与一个平面垂直，它们已经在相应的判定中列出了。
【线段和其射影的关系】
如果线段AB所在的直线与平面α所成的角为θ，AB在平面α内的射影为A’B’，那么A’B’=AB·cosθ。注意：当θ＜90°时，AB＞A’B’；当θ=0°时，AB=A’B’、当θ=90°时，A’B’=0。在做题中，常常由于忽略了θ=90°的特殊情况，引起判断错误。
例两条异面直线在同一个平面内的射影是。（A）两条相交直线；（B）两条平行直线；（C）两条相交直线或两条平行直线；（D）以上答案都不对。
说明：本题容易选择了错误的答案（C）。因为如果异面直线中的一条和平面垂直，那么它在平面内的射影将是一个点，所以正确的答案应该是（D）。
【三角形和其射影的关系】
如果ABC所在平面与平面α所成的角为θ，ABC在平面α内的射影为A’B’C’，那么ABC的面积SABC和A’B’C’的面积SA’B’C’满足关系式SA’B’C’=SABC·cosθ。
例已知正方体ABCD—A’B’C’D’，过AA’中点M和正方体的顶点B、C’，作MBC’。求平面MBC’与平面A’C’所成的二面角。
解法一：作出二面角的平面角求解。
过M、B、C’三点的平面交平面A’C’于C’N，直线C’N与MB交于P点。
则BM、B’A’、C’N三条直线交于P点（三平面三交线定理）。
在平面A’C’内，过B’作B’E⊥C’N于E点，连结BE，则BE⊥C’N（三垂线定理），故∠B’EB是所求二面角的平面角。
在RtPB’C’中，设B’C’=a，则PB’=2a，
B’E=2·2aa2+（2a）2=25a。
平面MBC’与平面A’C’所成的二面角为arctg52。
解法二：利用三角形和其射影的面积关系求解。
MBC’在平面A’C’内的射影是A’B’C’且SA’B’C’=12a2。
又在MBC’中MB=52a，BC’=2a，MC’=32a，故cos∠MBC’=110，SMBC’=34a2。
cosθ=SA’B’C’SMBC’=23。
平面MBC’与平面A’C’所成的二面角为arccos23。
说明：解法一中，延伸原空间图形的方法，是立体几何中常用的方法之一，计算二面角的平面角、异面直线所成的角有时需要用到这个方法。解法二中，利用了三角形的面积的射影定理，避免了在求二面角的大小时，作出二面角的平面角的过程，有时能使思路简单。
【平面多边形和其射影的关系】
平面多边形在另一个平面内射影的面积，等于原多边形的面积乘以两平面所成二面角的余弦。
【空间的基本轨迹】
空间的基本轨迹如下：
（1）和一个定点距离为定长的点的轨迹，是以这点为球心，定长为半径的一个球面；
（2）和两个定点距离相等的点的轨迹，是连接这两点的线段的垂直平分面；
（3）和一个平面距离为定长的点的轨迹，是以这个定长为距离，和已知平面平行的两个平面；
（4）和一个二面角的两个面距离相等的点的轨迹，是这个二面角的角平分面；
（5）和两个平行平面距离相等的点的轨迹，是和这两个平行平面都平行且距离相等的一个平面。
说明：空间的其他重要的轨迹还有以下几个。
（1）和一个三角形的三个顶点距离相等的点的轨迹，是过这个三角形的外心且垂直于这个三角形所在平面的一条直线；
（2）和一个三角形的三条边所在的直线距离相等的点的轨迹，是分别过这个三角形的内心和三个旁心且垂直于这个三角形所在平面的四条直线；
（3）和两个定点距离等于定比的点的轨迹，是按定比内分和外分这两定点连线所得两个分点的连线为直径的一个球面，等等。
【空间计算题中常用的定理】
应注意归纳整理，例如：
（1）如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这些角的平分线上。
（2）从二面角内任一点向二面角的两个面分别作垂线，则这两条垂线所确定的平面垂直于这二面角的棱。
（3）如果平面外一点到平面内一多边形各顶点距离相等，则该多边形有外接圆且该点在平面内的射影为外接圆圆心。
（4）若四面体的每组对棱互相垂直，则每一顶点在其相对面上的射影必为相对面上三角形的垂心。
【折叠问题】
熟悉与掌握平面图形的折叠问题，有助于建立空间概念，有利于认识立体几何与平面几何的联系，解这类问题，应画好平面图形和空间图形，并进行对照，识别元素间的位置关系和数量关系，注意变中有不变（如线段的长度），不变中有变（如线段与平面的相对位置）。
【求距离和求角】
“求距离”和“求角”是立体几何中贯穿始终的重要内容，分别归类如下。
求距离大致可归纳为十类：
（1）两点间的距离；
（2）点到直线的距离；
（3）点到平面的距离；
（4）两平行直线间的距离；
（5）两异面直线间的距离；
（6）与平面平行的直线与该平面间的距离；
（7）两平行平面间的距离；
（8）多面体表面上两点间的最短距离；
（9）旋转体表面上两点间的最短距离；
（10）两点间的球面距离。
求角大致可归纳为三类：
（1）直线与直线所成的角；
（2）直线与平面所成的角；
（3）二面角。
【多面体】
由若干个多边形（包括它的平面部分）围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点。
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体。
一个多面体至少有四个面。多面体依照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体………
【正多面体】
每个面都是有同数边的正多边形，在每个顶点都有同数棱的凸多面体，叫做正多面体。在正多面体里，所有的棱、所有的面角和所有的二面角都是相等的。
正多面体只能有五种：用正三角形做面的正多面体只有正四面体、正八面体、正二十面体，它们每个顶点的棱数分别是3、4、5；用正方形做面的正多面体只有正六面体，它的每个顶点的棱数是3；用正五边形做面的正多面体只有正十二面体，它的每个顶点的棱数也是3。不能用边数大于五的正多边形做正多面体的面，否则凸多面角各面角的和将不小于四直角，与凸多面角的性质定理矛盾。
【欧拉定理】
表面连续（不破裂）变形，可变形为球面的多面体叫做简单多面体。棱柱、棱锥、棱台、正多面体、凸多面体都是简单多面体。
欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E、面数F，有下面关系V+F－E=2。
欧拉（1707—1783，瑞士）是18世纪最著名的数学家。欧拉主要是在俄国圣彼得堡科学院和德国柏林科学院工作，内容多是与军事和其他实际应用相联系的，因此取得了广泛的成就。在他生活的时代已出现的数学和各个分支中，几乎都留下了欧拉的痕迹。如变分法中的欧拉方程，复数中的欧拉公式，立体几何中的欧拉定理，解析几何中的欧拉角，极限中的欧拉常数，含参变量积分中的欧拉积分，常微分方程中的欧拉变换等等。欧拉在处理“哥德巴赫猜想”和“费尔玛大定理”等问题，表现出实事求是的科学态度。正是由于欧拉把哥德巴赫求教于他的信公布于世，并声明自己无法证明这个问题，才使得“哥德巴赫猜想”成了世界著名的数学难题。
【四面体的性质】
四面体作为最简单、最基本的几何体，了解它的性质是必要的。与四面体关系密切的多面体是其外接平行六面体（过四面体三组对棱所作的三组平行平面围成的平行六面体），通过外接平行六面体，可以得出四面体下面的（1），（2）性质。由反证法等，还可以得到下面的（3），（4）等性质。
（1）四面体各棱长的平方和，等于三组对棱中点连线的平方和的4倍；
（2）四面体四中线（连四面体各顶点与其对面重心的线段）交于一点，这点称为四面体的重心，重心分各中线从顶点算起的两部分之比为3∶1。
（3）任何一个四面体总有一个端点，从这个端点发出的三条棱为三边可以形成一个三角形；
（4）除四面体外，不存在任何一种凸多面体，它的每一个顶点和所有其余的顶点之间都有棱相连接；
（5）若四面体四个面的面积相等，则四面体的对棱分别相等（对棱分别相等的四面体称为等腰四面体或等面四面体）；
（6）若四面体的外接球球心与内切球球心重合，则四面体的对棱分别相等；
（7）若四面体的两组对棱互相垂直（有两组对棱互相垂直的四面体称为重心四面体或正交四面体），则第三组对棱也互相垂直；
（8）若四面体的两组对棱互相垂直，则三组对棱中点连线（段）都相等。
【拟柱体】
所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫拟柱体。它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面。两底面之间的距离叫做拟柱体的高。显然，拟柱体的侧面是三角形、梯形或平行四边形。
两底面是矩形，并且它们的对应边平行，这样的拟柱体叫做长方台。
下底面是梯形或平行四边形，上底面变成了与下底面的平行边平行的线段，这样的拟柱体叫做楔体。
棱柱、棱锥、棱台都是特殊的拟柱体。
【棱柱】
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面间的距离叫做棱柱的高。
【棱柱的分类】
分类标准不同，有一种按侧棱与底面成垂直与否分类，另一种按底面多边形的边数分类。即：
说明：四棱柱中，底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体。侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体。底面是矩形的直平行六面体叫做长方体。棱长都相等的长方体叫做正方体。
【棱柱的主要性质】
棱柱的主要性质如下：
（1）棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形；
（2）平行于底面的截面与两底面是全等的多边形；
（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
（4）n棱柱对角线的条数是n（n－3），对角面的个数是12n（n—3）。
【平行六面体的主要性质】
（1）六个面都是平行四边形，相对的两个面平行且相等；
（2）四条对角线交于一点且被这点平分；
（3）各对角线的平方和等于它的各条棱的平方和。
【长方体的主要性质】
长方体的主要性质如下：
（1）长方体的任意一条对角线的长的平方，等于一个顶点上三条棱长的平方和；
（2）长方体的一条对角线同过这条对角线一端的三条棱的交角余弦的平方和为1；
（3）长方体的一条对角线同过这条对角线一端的三个面所成的角的余弦的平方和为2。
【正方体】
正方体的六个面是全等的正方形。正方体有立体几何的百宝箱之誉，通过正方体可以编选出包括第一章立体几何理论的基础部分的全部内容的题目。
【棱柱的侧面积】
把棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，展开图的面积就是棱柱的侧面积。
定理1：如果直棱柱的底面周长是c，高是h，那么它的侧面积是S直棱柱侧＝ch。
定理2：斜棱柱的侧面积等于它的直截面（垂直于侧棱的截面）的周长与侧棱长的乘积。
【棱锥】
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面。相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
【棱锥的主要性质】
棱锥的主要性质如下：
（1）棱锥的对角面（过棱锥不相邻的两条侧棱的截面）是三角形；
