【向量的概念】（1）向量的基本要素：大小和方向。（2）向量的表示：几何表示法AB，a；坐标表示法a=xi+yj=（x，y）。（3）向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜。（4）特殊的向量：零向量a＝O｜a0｜＝0。单位向量a为单位向量｜a0｜＝1。（5）相等的向量：大小相等，方向相同（x1，y1）=（x2，y2）x1=x2y1=y2。（6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥b由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
【向量的运算】
向量的运算包括向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）。
【平面向量基本定理】
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1λ2，使a=λ1e1+λ2e2。
【两个向量平行的充要条件】a∥ba＝λb或b=λax1y2—x2y1=0。
【两个向量垂直的充要条件】
a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0。
【线段的定比分点公式】
设点P分有向线段P1P2所成的比为λ，即P1P＝λPP2，则OP＝11+λOP1+11+λOP2（向量公式）x=x1+λx21+λy=y1+λy21+λ（坐标公式），
当λ＝1时，得中点公式：OP=12（OP1+OP2）或x=x1+x22，y=y1+y22。
【平移公式】设点P（x，y）按向量a=（h，k）平移后得到点P’（x’y’），则OP’=OP+a或x’=x+h，y’=y+k，曲线y=f（x）按向量a=（h，k）平移后所得的曲线的函数解析式为：y—k=f（x—h）
【有向直线和有向线段】
规定了正、负方向的直线叫做有向直线。规定了起点和终点的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB或AB或AB。一条有向线段的长度，连同表示它的方向的正负号叫做有向线段的数量，有向线段AB的数量也记作AB，对于任何两条有向线段AB和BA的数量，均有关系：AB=BA，即AB+BA=0。
有向线段AB的长度记作AB，也叫做有向线段AB的绝对值。对于任何两条有向线段AB和BA，均有AB=BA。
定理：设A，B，C是有向直线上的任意三点，则不论它们的位置顺序如何，总有AB+BC=AC。
推论：设A1、A2、A3、……、An是同一条有向直线上的n个点，则不论它们的位置顺序如何，都有A1A2+A2A3+……+An－1An=A1An。
说明：（1）若有向线段的方向（由起点至终点的方向）与有向直线的正向相同，则称它是正的；若有向线段与有向直线的正向相反，则称它是负的。
（2）有向线段的数量与有向线段的长度不同，前者需要考虑表示方向的正负号以及长度两个要素，后者不考虑方向，对于任何一条有向线段AB，均有AB≥0，即任何一条有向线段的长度均为非负实数。
【直线上的坐标系】
在直线上规定了正向，取定了原点O并给定了长度单位后，这条直线叫做坐标轴或数轴，以原点O引向正方向的半直线叫做正半轴，引向负方向的半直线叫做负半轴。以O为起点，P为终点的有向线段OP的数量x就叫做点P的坐标。
根据数轴上任意一点的坐标的定义可知：数轴上点的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，建立了这一对应关系的系统叫做直线上的坐标系。
说明：设P为数轴上任意一点，坐标为x，则P在正半轴上x＞0；
P在负半轴上x＜0。
P与原点重合x=0。
【数轴上有向线段的数量公式】
设A，B为数轴上任意两点，坐标分别为xA、xB，则有向线段AB的数量AB=xB－xA。
有向线段AB的长度AB=xB－xA。
【两点间的距离公式】
直角坐标平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离｜P1P2｜=（x2—x1）2+（y2—y1）。
特殊地，当直线P1P2垂直于x轴时，P1P2＝y2－y1；
当直线P1P2垂直于y轴时，P1P2=x2－x1。
平面上任意一点P（x，y）到原点的距离OP=x2+y2。
【线段的定比分点与定比分点公式】
设P点是有向线段P1P2所在的有限直线上一点，则P点把有向线段P1P2分成P1P和PP2两条有向线段；若P点在P1、P2两点之间，则称P点为线段P1P2的内分点；若P点在P1、P2两点之外，则称P点为线段P1P2的外分点。若P点分线段P1P2所得两条有向线段P1P与PP2的数量之比P1PPP2=λ为定理，则称P点是有向线段P1P2的定比分点。
设P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个已知点，P（x，y）是有向线段P1P2的定比分点，P1PPP2=λ，则x=x1+λx21+λ。
y=y1+λy21+λ。
称之为定比分点坐标公式。
特殊的，当P点的P1P2的中点时，λ=1，
x=x1+x22。
y=y1+y22。
称之为中点坐标公式。
说明：（1）P点在有向直线P1P2上的位置与λ的值的对应关系如下表所示；
（2）λ≠－1。这是因为：当λ=－1时，P点到P1、P2两点距离相等，且P1P与PP2方向相反。显然这是不可能的。
注意：（1）P点分有向线段P1P2所成的比与P点分有向线段P2P1所成的比是不同的，若P1PPP2=λ，则P2PPP1=1λ；
P点的位置在P2P1延长线上重合于P1。
P1P与PP2方向相反P1P=0。
λ的值—1＜λ＜0λ=0。
在P1=P2之间重合于P2在P1P2延长线上。
相同PP2=0相反。
0＜λ＜+∞λ不存在∞＜λ＜1。
（2）λ是P点将有向线段P1P2分成两条有向线段的数量之比，它与长度之比P1PPP2有关，但不是长度之比；
（3）应用定比分点公式时，（x1，y1）是起点从标，（x2，y2）是终点坐标，顺序不能颠倒。
【曲线与方程】
在给定的平面直角坐标系中，若（1）曲线C上所有点的坐标都是方程F（x，y）=0的解；（2）以方程F（x，y）=0的解为坐标的所有点都在曲线C上，则称曲线C是方程F（x，y）=0的曲线，称方程F（x，y）=0是曲线C的方程。
说明：（1）这一定义包含两方面的含义，一是纯粹性：曲线C上的每一点的坐标都满足方程F（x，y）=0，无一杂点。二是完备性：坐标满足方程F（x，y）=0的每一点都在曲线C上，无一遗漏。换言之，方程F（x，y）=0的解集A和曲线C上的点集B之间有一一对应关系：对于任意一个有序实数对（x，y）∈A=｛（x，y）F（x，y）=0｝，都有唯一确定的点P∈B与之相对应；对于任意一点P∈B，都有唯一确定的有序实数对（x，y）∈A与之相对应。
（2）这一概念与点的轨迹的概念有共同的属性。一条曲线是适合于某种条件的点的轨迹，是指：（1）曲线上所有点都适合于这个条件；（2）适合于这个条件的所有点，都在这条曲线上。前者即纯粹性，后者即完备性。
（3）已知曲线求它的方程时，一般应从纯粹性和完备性两个方面证明求得的方程确为所求的曲线的方程。若推导过程准确，则曲线上任意一点的坐标都能适合所求得的方程，这时，证明中的纯粹性部分可以省略，但完备性的证明必不可少。若方程化简过程都是同解变形时，则完备性的证明也可省略。
（4）在曲线与方程之间建立上述关系后，研究曲线的几何问题就可以转化为研究曲线方程的代数问题。平面解析几何的两个基本问题就是：（1）已知曲线求方程；（2）已知方程讨论曲线的性质（截距，对称性，范围等），并画出曲线。
（5）方程的曲线与函数的图象是两个既有联系又有区别的概念。它们的共同点是都需具备纯粹性与完备性。它们的不同点是：函数的图象与垂直于x轴的直线只有一个交点或没有交点，即在函数y=f（x）中，对于定义域内所取定的每一个x值，都只有唯一确定的y值与之相对应。而方程的曲线与垂直于x轴的直线的交点个数可以多于一个，即在方程F（x，y）=0中，对于在允许的范围内所取定的每一个x值，可以有两个或两个以上的y值与之相对应。
【曲线在坐标轴上的截距】
若曲线与x轴有交点，则从原点到交点的有向线段的数量叫做曲线在x轴上截距或横截距；若曲线与y轴有交点，则从原点到交点的有向线段的数量叫做曲线在y轴上的截距或纵截距。
求曲线在坐标轴上的截距的方法是：在曲线方程F（x，y）=0中，令y=0，求得对应的x值，就是曲线的横截距；令x=0，求得对应的y值，就是曲线的纵截距。
当横（纵）截距为正时，曲线与x轴（y轴）的正半轴相交，反之亦真；当横（纵）截距为负时，曲线与x轴（y轴）的负半轴相交，反之亦真；当横、纵截距为零时，曲线通过原点，反之亦真。
【曲线的对称性】
在曲线方程F（x，y）=0中，若以－y替代y而方程不变，则曲线关于x轴对称；若以－x替代x而方程不变，则曲线关于y轴对称；若同时以－x替代x，以－y替代y而方程不变，则曲线关于原点对称。
说明：（1）曲线关于x轴的对称性，关于y轴的对称性，关于原点的对称性反映了方程的曲线与坐标系的位置关系的特征。应当把上述三种曲线的特殊的对称性与曲线自身所具有的对称性区别开来。例如，任何一条直线都是中心对称图形，直线上任意一点都可以是它的对称中心，但是当直线不通过原点时，就不能关于原点对称。任何一个圆都是轴对称图形，也是中心对称图形，它的任意一条直径都可以是它的对称轴，圆心是它的对称中心，但是当圆心不在x轴上时，圆就不能关于x轴对称，当圆心不在y轴上时，圆就不能关于y轴对称，当圆心不在原点时，圆就不能关于原点对称。
（2）关于x轴和y轴都对称的曲线，一定关于原点对称。
【曲线的范围】
分析曲线的方程，求出当x取哪些实数值时才能使y有确定的实数值与之相对应，当y取哪些实数值时才能使x有确定的实数值与之相对应，从而确定x与y的取值范围，以此确定曲线的范围。
确定曲线范围的常用方法有：（1）将曲线方程F（x，y）=0变形成以x为自变量，y为因变量的函数的解析表达式y=f（x）（一个或几个），然后求它的定义域，便可以确定x的取值范围；再将曲线方程F（x，y）=0变形成以y为自变量，x为因变量的函数解析表达式x=g（y）（一个或几个），然后求它的定义域，便可确定y的取值范围。（2）将曲线方程F（x，y）=0变形成以x（或y）为未知数的一元二次方程，y（或x）为系数，令其判别式≥0，确定y（或x）的取值范围。
【曲线的渐近线】
设曲线C上的点P到定直线l的距离为d，当点P沿曲线C趋向于无穷远时，d无限趋近于零，则称直线l是曲线C的渐近线。
【求曲线的方程】
求曲线的方程的基本步骤是：
（1）建立适当的坐标系。设P（x，y）为曲线（轨迹）上任意一点；
（2）根据曲线上的点P所要适合的条件（轨迹条件）写出等式；
（3）将等式转化为含x，y的解析式，并化简，得出方程；
（4）证明所得方程就是曲线的方程（即证明满足方程的的任意一组实数解（x，y）的对应点，都在曲线上），若方程的化简过程都是同解变形，这一证明可以省略。
【画方程的曲线】
画方程的曲线的基本步骤是：
（1）讨论性质——通过对曲线方程F（x，y）=0的讨论，求出曲线在坐标轴上的截距，确定曲线的范围，揭示曲线关于坐标轴或原点的对称性，判定曲线有无渐近线等。
（2）列表找点——将方程F（x，y）=0变形，用x表示y（或用y表示x），在允许的范围内给x（或y）以一系列实数值，求出y（或x）的对应实数值，列出对应值表，并用这些对应值为坐标画点。注意利用曲线的对称性简化求值找点的过程。
（3）描点连线——把画出的点连结成光滑的曲线。
说明：在讨论曲线的性质时，可将曲线方程F（x，y）=0变形成函数y=f（x），利用函数的单调性、周期性、极值、极限等，加深对曲线的形状与变化的认识，以利于描绘方程的曲线。
【曲线的交点】
两条曲线交点的坐标是两个曲线方程组成的方程组的实数解；方程组有几组实数解，两条曲线就有几个交点，方程组没有实数解，两条曲线没有交点。
【直线的倾斜角】
一条直线l向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做直线l的倾斜角，简称倾角。当直线l与x轴平行或重合于x轴时，规定它的倾斜角为0。
直线l的倾斜角也可以定义为：x轴按逆时针方向转动到直线l时所成的最小正角。
说明：（1）任何一直线的倾斜角α的取值范围是0≤α＜π；
（2）直线的倾斜角用以表示直线在直角坐标平面内的方向，即对于x轴的倾斜程度。
【直线的斜率】
一条直线l的倾斜角α的正切叫做直线l的斜率，通常用k来表示：k=tgα倾斜角为π2的直线的斜率不存在。
说明：（1）直线的斜率是用以刻划直线对于x轴的倾斜程度的量；
（2）直线的倾斜角和斜率之间的关系如下表所示：
直线方向平等于x轴沿左下至右上垂直于x轴沿左上至右下αα=00＜α＜π2α=π2π2＜α＜π，kk=0k＞0不存在k＜0。
（3）已知斜率k，可求倾角α：当k≥0时，α=arctgk，当k＜0时，α=π+arctgk。
【斜率公式】
经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）（x1≠x2）两点的直线的斜率k=y2—y1x2—x1。
说明：（1）若P1P2⊥y轴，则y1=y2而x1≠x2，k=0；若P1P2⊥x轴，则x1=x2而y1≠y2，k不存在；
（2）。斜率公式k=（x1≠x2）与P1、P2两点在直线上的位置无关。
【直线方程的点斜式】
经过点P0（x0，y0）、斜率为k的直线的方程y－y0=k（x－x0）叫做直线方程的点斜式或直线的点斜式方程。
当直线的倾角为0（平行于x轴或与x轴重合）时，k=0，直线的点斜式方程是y=y0。
说明：（1）点斜式是直线方程的基本形式，它与确定直线的基本条件之一——一定点与一定方向定一直线——相对应，推求直线方程的其他形式常归结为点斜式。
（2）直线是几何学中的基本概念，是数学中不加定义的原名。直线的点斜式方程不是根据直线的轨迹定义导出的，而是根据“直线上任何一点P（x，y）与直线上一定点P0（x0，y0）所确定的斜率都相等”这一性质导出的。
（3）当直线的倾角为π2（垂直于x轴）时，斜率k不存在。它的方程不能用点斜式，而应直接写为x=x0。
【直线方程的斜截式】
斜率为k，纵截距为b的直线的方程y=kx+b叫做直线方程的斜截式或直线的斜截式方程。当直线的倾角为0（平行于x轴或与x轴重合）时，k=0，直线的斜截式方程是y=b。
说明：（1）直线方程的斜截式是点斜式的特殊情形。
（2）当直线的倾角为π2（垂直于x轴）时，k不存在，此时纵截距b或是不存在（直线平行于y轴），或是无法确定（直线与y轴重合），它的方程不能用斜截式，而应直接写为x=a（a为直线的横截距）。
【直线方程的两点式】
经过P1（x1，y1）和P2（x2，y2）两点的直线的方程y—y1y2—y1=x—x1x2—x1叫做直线方程的两点式或直线的两点式方程。
直线方程的两点式也可以写为：
（y2－y1）（x－x1）＝（x2－x1）（y－y1）
此时，可不要求x1≠x2，y1≠y2。
直线方程的两点式还可以用行列式写为。
说明：（1）两点式与确定直线的基本条件之一——两点定一直线相对应。
