【自然数】
1，2，3，……，这样的数叫做自然数，即正整数。
它是一个数的集合，它的元素间相邻的差1；最小的自然数是1，没有最大的自然数。
自然数是由数字和数位表示的。
自然数可以分为三类：单位（指1）；质数（也叫素数，是只能被1和它本身整除的自然数），合数（除1和它本身外，还能被其他自然数整除的数）。
【整数】
零的概念其中有“无”的一种，它的出现比正整数要迟。
整数可以分为两类：奇数（不能被2整除的整数），偶数（能被2整除的整数）。奇数的一般表达式是2n－1（n是0，±1，±2，……），偶数的一般表达式是2n（n是0，±1，±2，……）。
【分数】
形如nm（m，n为整数，m≠0）的数，它的单位是1m；n·1m=nm。
【小数】
用小数点和数位表示的数。相邻两数位，高数位是低数位的10倍。它的单位是110n（n是小数点后的位数）。
小数分为有限和无限两类，这是由小数点后的位数来分的。无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数；有限小数有纯小数和混小数。
小数可以化为分数：有限小数写成分数后约分；循环小数用无穷递缩等比数列求和；无限不循环小数用连分数。
【正数】
带有正号的数叫正数（正号“+”，也可以省略不写）。
正数包括正整数和正分数（有限小数和无限循环小数）。
【负数】
带有负号的数叫负数（负号为“－”）。
负数包括负整数和负分数。
负数的出现是由于客观生活中存在着相反意义的量。只有原来不带符号的数，无法表示它的性质，于是把它的性质符号（正、负）写在了数字的前面，由符号和数字的性质符号构成了一个数。性质符号是负数不可缺少的一部分。
注意：（1）零既不是正数也不是负数。
（2）性质符号“+”表示相同；“－”表示相反。+（－3）表示与－3相同的数3；－（－5）表示与－5相反的数。
（3）性质符号“+”、“－”与运算符号“+”（加）、“－”（减）为什么使用相同的符号，是因为用代数和（见后）可以将其统一起来。
【有理数】
整数和分数统称有理数。
注意：
（1）整数可看成分母是1的分数。
（2）有理数是整数和有限小数与循环小数的集合。
（3）分数化小数，除不尽一定循环。这是因为余数要小于除数是有限的。比如1÷7余数只能小于7。因为余数有限就会重复，因而商也随之重复。1÷7=0。1·42857·，余数分别为3，2，6，4，5，1。
【数轴】
规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。
原点所代表的数是零，由原点向箭头所指的方向上的点表示正数，原点与箭头所指的相反方向上的点表示负数。
注意：（1）数轴的原点位置、单位长度和方向是可任意规定的。只要具备以上三要素（原点、单位和方向）就是一个数轴。
（2）用数轴上的点代表数，这样建立了几何（点）和代数（数）的一一对应关系。任何一个实数都可以在数轴上找到表示它的点，任何一个数轴上的点都表示一个实数。所以数轴又称实数轴。
在实数轴上数的位置有它的顺序性。
【相反数】
只有性质符号不同的数，称其中一个是另一个的相反数。
零的相反数是零。
【绝对值】
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
绝对值可以看成代表这个数的点到原点的距离。
实数a的绝对值用a表示：
a=a（a0）0（a＝0）—a（a0）
注意：相反数的绝对值相等。如a=－a，a－b=b－a。
【有理数大小的比较】
正数都大于零，零大于负数，正数大于负数，两个正数绝对值大的数大，两个负数绝对值小的数大。
有理数大小的本质是在数轴上的顺序性。两个数的表示点，右边的点代表的数较大。
【有理数加减法法则】
（1）同号两个数相加，取原来的符号，把绝对值相加；
（2）异号两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零。
（3）一个数与零相加，仍得这个数。
注意：
（1）“和”是加法的结果。它的本质是连续运动的终止位置在数轴上所代表的数。“加”是连续运动。
（2）做有理数加法要先决定和的符号，再确定和的绝对值。
（3）进行有理数加法运算，一般将相反数放在一起，正数、负数分别计算，最后正负数运算。
减去一个数等于加上这个数的相反数。
【加法运算律】
（1）交换律：a+b=b+a，两数相加交换加数的位置，“和”不变。
（2）结合律：（a+b）+c=a+（b+c），加法可改变运算顺序，结果不变。
说明：
（1）a+b和b+a是不同的，因为顺序不同，思维的过程不同。比如4+2的思维是从4做为起点，继续“数”两个数，而2+4则是从2开始，往下“数”四个数。显然4+2要比2+4容易。但加法交换律告诉我们交换加数位置，结果相同。这样就可以使思维过程简化。
（2）加法结合律是改变运算顺序而结果相同，这样就可以使加法运算简化，与交换律联合使用就使运算更为简捷。
【有理数乘除法法则】
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘，都得零；几个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。
在做乘法运算时，先确定积的符号，再确定积的绝对值。
两数相除，同号得正，异号得负，把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数都得零。
【乘法运算律】
（1）交换律ab=ba。两数相乘，交换因数的位置，积不变。
（2）结合律（ab）c=a（bc）。三个数相乘可改变运算顺序，积不变。
（3）分配律a（b+c）=ab+ac。一个数同两个数的和相乘等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
说明：
（1）运算定律本质是改变运算的顺序。
（2）应用运算定律时，要注意逆用。
—12×1157+13×（—1157）—（——16）×（—1157）=（12+13+16）×（—1157）=1×（—1157）=—1157。
【乘方】
求几个相同因数积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂，相同的因数叫底数，相乘的个数叫做指数。
注意：an做为运算叫做乘方，把它看成运算的结果就叫做幂。说明：
（1）规定a1=a。指数为1时，通常省略不写。
（2）习惯上把a2（a的二次方）叫做a的平方。a3（a的三次方）叫做a的立方。
（3）正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数。
（4）乘方运算是第三级代数运算，在没有括号的运算中，乘方运算比乘除运算优先。运算顺序是先高级后低级（先第三级，次第二级，再第一级）。
（5）在乘方的写法上，分数、负数要写在括号内。
【近似数】
接近准确而不等于准确数的数叫这个数的近似数，也叫近似值。
近似数与准确数的差叫误差。表示近似数精确程度（精确到什么数位）叫精确度。
近似数＞准确数时叫做过剩近似值，近似数＜准确数时叫做不足近似值。
根据精确度决定近似值要将精确度的下一位四舍五入。
【有效数字】
一个数从左边第一个不是零的数字起，到最后一位数字止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。
例003050是一个近似数时，它精确到000001，有效数字是四个：3，0，5，0。
注意：003050与00305不同，精确度不同，有效数字也不同，前者有四个有效数字后者有三个有效数字。
【代数式】
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
说明：（1）代数运算有六种：加、减、乘、除、乘方、开方。分为三级：第一级加减运算；第二级乘、除运算；第三级乘方、开方。同一种运算中的两种算法是互为逆运算的。
（2）字母表示数，可以代表任何数，如a不只是表示正数和零，它也可以表示负数。同样，－a的正负也不能只看它的表面形式，它可以表示正数，当a＜0时，－a＞0。
（3）在代数式里，数的运算定律普遍适用。
注意：数和表示数的字母相乘时，应把数字写在字母的前面，并可省略乘号。
【代数式的值】
用数值代替代数式中的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
代数式中的字母不能表示使代数式没有意义的数。如，1x2—4中的x≠±2，因为当x表示±2时代数式的分母出现零。零是不能做分母的，所以x≠±2。
代数式的值在它的字母确定以后，它的值也唯一确定。代数式的值是随字母表示数的不同而变化的。
注意：求代数式的值的步骤中，一定要有将字母表示的数代入代数式的一步；代入后就是运算了，运算时要注意运算顺序。
【整式】
单项式和多项式统称整式。
【单项式】
由数与字母的积或正整数幂组成的代数式叫单项式。单独的一个数字或字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做单项式的数字系数，也叫字母因数的系数。
系数是1或－1时，可将1省略不写。
在一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数。注意：指数中省略的1，要计入次数。
【多项式】
几个单项式的和叫多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。注意：多项式中各项要带它的符号。次数最高的项的次数是这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项。一个多项式的全称是几次几项式。
按某一个字母的指数从大到小的顺序来排列的多项式叫做按这个字母的降幂排列；按某个字母的指数从小到大的顺序来排列的多项式叫做按这个字母的升幂排列。不含某一字母的项，相当于常数项，按同一字母的次数整理它的文字系数，再进行排列。
【合并同类项】
多项式中所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项。常数项彼此也可以叫同类项。
把多项式中的同类项合并在一起叫合并同类项。合并同类项的方法是把同类项的系数相加所得的结果做为系数，字母和字母的指数不变。
说明：找出同类项后，把它的系数放在括号内求代数和。
注意：
（1）系数的符号。
（2）各项之间用加号连结。
（3）最后写成代数和的多项式形式。
（4）没有同类项的项，要写入结果中。
【去括号和添括号的法则】
括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都变相反数。法则的依据有两条：
（1）乘法对加法的分配律；
（2）“+”表示相同，“－”表示相反。
在“+”号后面添括号，括到括号内的各项都不变；在“－”号后面添括号，括到括号内的各项都变号（变成相反数）。
说明：添括号是改变原来的运算顺序，相当于在原式中添入了+或－。
【单项式乘法和乘方法则】
单项式相乘，系数相乘做积的系数，同底数幂相乘，不同底的字母连同它的指数写入积的因式中。
幂的乘方，底数不变，指数相乘。即（am）n=amn。
积的每一个因式乘方，再把所得的幂相乘。即（ab）n=an·bn。
【整式相乘法则】
单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘，用一个相乘多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所有的积相加。相乘时要注意顺序性，而且要特别注意符号。
有时为了做题的方便，可以采用竖式乘法的形式。用竖式相乘，要按同一个字母把多项式按同一种形式排列（升幂或降幂）。如果缺项时，要注意空位。
【平方差公式】
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即（a+b）·（a－b）＝a2－b2。
平方差公式的条件是两个数的和与它们的差。在使用公式时要找出相关的两个数。
【完全平方公式】
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍。即（a±b）2=a2±2ab+b2。
【立方和（差）公式】
两数的和乘以它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和，即（a+b）（a2－ab+b2）=a3+b3。
使用立方和公式要注意检查它的条件。如果存在立方和公式的条件才能用公式。通过恒等变形，创造使用条件会使运算简化。
两数差乘以它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差，即（a－b）（a2+ab+b2）=a3－b3。
【含有一个相同字母的两个一次二项式乘积公式】
（1）当一次项系为1时，有（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab。
（2）当一次项系数不同时，有（mx+a）（nx+b）=mnx2+（an+bm）x+ab。
【同底数幂的除法法则】
底数不变，指数相减。即am÷an=am－n（a≠0）。当m=n时an÷an=a0=1（a≠0）。
【单项式除以单项式的法则】
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，做为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
【多项式除以单项式的法则】
先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所有的商相加。
【多项式除以多项式的法则】
按同一字母降幂排列，仿照多位数相除的方法用竖式进行演算。
（1）用除式的第一项去除被除式的第一项做为商式的第一项。
（2）用商的第一项去乘除式；把积写在被除式下边同类项要对齐，从被除式中减去这个积。
（3）把余式当做新的被除式。仿照上面的方法演算。到余式的次数低于除式的次数为止（或余式为零）。
【等式】
表示相等关系的式子。等式两边都加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边都乘以（或除以，除数不能是零）同一个数，等式仍然成立。
等式可分为（1）恒等式（等式中字母可代表任意数，等式都能成立）；（2）条件等式（等式中字母只能代表某些特定的值等式才成立）。
【方程】
含有未知数的等式（条件等式）叫做方程。
能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解也叫方程的根。
【解方程】
求方程的解的过程叫解方程。
注意：方程的解不存在，称方程无解，确定方程无解的过程也叫解方程。
【方程的同解】
如果两个方程的解完全相同，那么这两个方程叫同解方程。同解方程必须是两方程解的数值和解的个数都相同时，才能称为同解方程。
方程的两边都加上（或都减去）同一个数或同一整式，所得的方程与原方程同解；方程的两边都乘以（或都除以）不等于零的同一个数，所得方程与原方程是同解方程；如果方程的一边为0，另一边可分解为n个因式的乘积，那么使各个因式分别等于零，这样得出n个方程与原方程是同解方程。
注意：（1）如果方程的两边同乘以一个整式，或两边同时乘方，扩大了解的允许值的范围，则可能产生增根。这就需要检验，找出不是方程的根（不能使方程成立的未知数的值）舍去。（2）如果方程两边同除以一个整式，或两边同时开方，则可能遗根。要使整式=0找出根或以被开方数=0找出根，加以验证，确定是否为根，若是原方程的根，则应补上做为原方程的一个根。（3）如何避免破坏同解性，尽量不采取不同解的变形方式。
【方程的元】
方程中的未知数叫方程的元。相同的未知数为同一元。
【方程的次】
一元方程中未知数的最大指数叫方程的次。在多元方程中含未知数的项的最高次数叫方程的次。
如x2+3x－1=0是一元二次方程。关于x，y的方程x2+2xy+y2=9是二元三次方程x2y是最高项，次数为3。
注意：如果方程中各项的次数都相同时叫做齐次方程。如x2+2xy+y2=0是二元二次齐次方程，而x2+2xy+y2=16不是齐次方程，常数项是未知数的零次项。
【解一元一次方程的步骤】
（1）去分母：方程两边同乘以各分母的最小公倍数。
（2）去括号。
