让我们先来做一个游戏：
你随便取一个自然数，如果它是偶数，就用2去除它；如果它是奇数，将它乘3之后再加1，这样反复运算，你会发现，最终必然是1。
比如，取自然数N＝6。6是偶数，要先用2除，6÷2＝3；3是奇数，要将它乘3之后再加1，3×3＋1＝10；按照上述法则继续往下做：10÷2＝5，5×3＋1=16，16÷2＝8，8÷2＝4，4÷2＝2，2÷2＝1。从6开始经历了3→10→5→16→8→4→2→1，最后得1。
用一个大一点的数运算，结果还是这样吗？
取自然数N＝16384。你会发现这个数连续用2除了14次，最后还是得1。
上面用的两个数都是偶数，奇数是不是这样的呢？
取自然数N＝19。按照上面的法则来算，可以得到下面一串数字：19→58→29→88→44→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。
经过20步，最终也变为最小的自然数1。
这个有趣的现象引起了许多数学爱好者的兴趣。一位美国数学家说：“有一个时期，在美国的大学里，它几乎成了最热门的话题。数学系和计算机系的大学生，差不多人人都在研究它。”人们通过大量演算发现最后结果总是得1。于是，数学家便提出如下一个猜想：对于任一个自然数N，如果N是偶数，就把它变成N2；如果N是奇数，就把它变成3N+1。按照这个法则运算下去，最终必然得1。
这个猜想最初是由哪位数学家提出来的，已经搞不清楚了，但似乎并不古老。20世纪30年代，德国汉堡大学的学生考拉兹就研究过它。1952年一位英国数学家独立发现了它。几年之后它又被一位美国数学家所发现。自20世纪50年代起，这个问题一再引起人们的广泛兴趣。
在日本，这个问题最早是由角谷静夫介绍到日本的，所以日本人称它为“角谷猜想”。1960年角谷静夫初次听到这个问题，他说：“有一个月，耶鲁大学每一个人都在研究这个问题，但没有任何结果。我到芝加哥大学提出这个问题之后，也出现了同样现象。有人开玩笑说，这个问题是企图减缓美国数学进展的一个阴谋。”足见这个问题的吸引力之大。
人们争先恐后去研究这个猜想，一遍遍地进行运算，在运算过程中发现，算出来的数字忽大忽小，有的计算过程很长。比如从27算到1，需要112步。有人把演算过程形容为云中的小水滴，在高空气流的作用下，忽高忽低，遇冷结冰，体积越来越大，最后变成冰雹落了下来，而演算的数字最后也像冰雹一样掉了下来，变成了1。因此人们又给这个猜想起了个形象的名字——冰雹猜想。
